导数的应用2.ppt

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1、作业分析：技法一解决与不等式有关的问题【典例1】当x>0时,证明不等式ln(1+x)>x-x2成立.[解题切入点]欲证x>0时,ln(1+x)>x-x2,可以证F(x)=ln(1+x)-(x-x2)>0,易知F(0)=0,因此可以考虑F(x)在[0,+∞)上是增函数.应用举例：[证明]设f(x)=ln(1+x),g(x)=x-x2,F(x)=f(x)-g(x),F′(x)=f′(x)-g′(x)=.当x≥0时,F′(x)=≥0.所以F(x)在[0,+∞)上是增函数.故当x>0时,F(x)>F(0)=0,[方法与技巧]运用导数证明不等式是一类

2、常见题型,主要是根据欲证不等式的题设特点构造函数,利用导数判定函数的单调性进而求解.技法二解决与函数周期有关的问题【典例2】设f0(x)=sinx,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),…,fn+1(x)=f′n(x),n∈N,则f2005(x)等于()A.SinxB.-sinxC.CosxD.-cosx[解析]f0(x)=sinx,f1(x)=f′0(x)=cosx,f2(x)=f′1(x)=-sinx,f3(x)=f′2(x)=-cosx,f4(x)=f′3(x)=sinx.所以fn(x)的周期为4.所以f2005(x)=f4×5

3、01+1=f1(x)=cosx.故选C.[答案]C[方法与技巧]本题是一个关于三角函数的求导问题,这里要利用函数的周期性.刚开始求解不一定能看出周期性,这需要借助我们平时的做题经验,由此可见,在平时的学习中要善于总结.技法三解决与方程有关的问题【典例3】方程x3-3x+a=0(a为常数)在区间[0,1)上()A.无实根B.有唯一实根C.至多有一个实根D.有两个实根[解析]设f(x)=x3-3x+a,则f′(x)=3x2-3在[0,1)上恒为负,所以f(x)在[0,1)上单调递减.故选C.[答案]C第3节导数的应用最值和优化问题1.函数的最值与导数(

4、1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.(2)求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值.②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.基础梳理：2.解决优化问题的基本思路1.(2010·重庆统考)已知函数f(x)=x3-3x,则函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值是()A.0B.1C.2D.3解析:f′(x)=3x2-3,当x∈[-2

5、,-1]或[1,2]时,f′(x)≥0,f(x)单调递增;当x∈(-1,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.故极大值为f(-1)=2,极小值为f(1)=-2,又因为f(-2)=-2,f(2)=2,∴f(x)在[-2,2]上的最大值为2.答案:C考点演练：题型一函数的最值解题准备:1.根据最值的定义,求在闭区间[a,b]上连续,开区间(a,b)内可导的函数的最值时,可将过程简化,即不用判断使f′(x)=0成立的点是极大值点还是极小值点,直接将极值点与端点的函数值进行比较,就可判定最大(小)值.2.定义在开区间(a,b)上的可导函数,如果只有一个

6、极值点,该极值点必为最值点.题型分析：【典例1】(2010·重庆)已知函数f(x)=ax3+x2+bx(其中常数a,b∈R),g(x)=f(x)+f′(x)是奇函数.(1)求f(x)的表达式;(2)讨论g(x)的单调性,并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值.类型二生活中的优化问题解题准备:利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤:(1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x).(2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0.(3)比较函数在区间端点和使f′(x)=0的点的数值的大

7、小,最大(小)者为最大(小)值.【典例2】某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距m米,余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为256万元;距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+)x万元.假设桥墩等距离分布,所以桥墩都视为点,且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y万元.(1)试写出y关于x的函数关系式;(2)当m=640米时,需新建多少个桥墩才能使y最小?[分析]对(1),先设辅助未知数,再确定函数关系;对(2),先利用导数求出最优解.[反思感悟]本题将导数应用于工程的最优化问题的解决之中,可以说是一个很好的设

8、计,不仅考查了考生对函数､导数等相关知识的掌握程度,还考查了考生数学建模能力及其解决实际问题的能力.该题常见的错误有:①不