Chapter08.1-3.ppt

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1、Chap8―1多元函数的基本概念8.1.1平面点集一.邻域在二维空间中,点P(x,y)与P0(x0,y0)的距离记为集合称为P0的邻域(不强调半径时记为U(P0))称为P0的去心邻域.二.开集与区域设ER2,P0R2.若>0,使得U(P0,)E,则称P0为E的内点.若>0,U(P0,)既有E中的点,又有不属于E中的点,则称P0为E的边界点.EP0边界点P0E内点若集合E中的每个点都为E的内点,则称E为开集.开集E的余集R2E称为闭集.若集合E中的任意两点都能用属于E的折线连接

2、,则称E是连通的.连通的开集称为(开)区域.E的边界点集合称为E的边界,记为E.区域连同其边界称为闭区域.若M>0,使得EU(O,M),则称E是有界集.否则称为无界集.例下列集合是否开集,区域,连通,有界?8.1.2多元函数简单说,函数依赖的自变量多于一个称为多元函数.设D是平面非空集,f是DR的映射,则称f是定义在D上的二元函数,记为f:DR或者z=f(x,y),(x,y)D.或点函数形式:u=f(P),PD.二元函数的两要素:定义域和对应法则.例已知求f(x,y).例且求函数z的表

3、达式.例求的定义域.自然定义域:二元函数图形(图像)集合所对应的几何图形称为二元函数的图形.一般地,它是R3中的曲面,该曲面在xOy面的投影区域就是D.yzxDOyzxO23多元初等函数:Chap8―2多元函数的极限与连续8.2.1二元函数的极限设二元函数f在定义.若AR,>0,则称当PP0或(x,y)(x0,y0)时,f(x,y)的(二重)极限为A,记为>0,使得P(P0,),有与一元函数相似点1.当(x,y)(x0,y0)时,f(x,y)变化的定量趋势.2.有类似的性

4、质和运算法则.与一元函数区别平面上PP0有无穷多方向,且采取的路径也是任意的,即可取直线,也可取曲线.无论沿何种方向或何种路径,只要d(P,P0)充分小,就有例讨论的存在性.例讨论的存在性.例证明H.W.习题82(2,3,4),3,4(3,4),7.8.2.2二元函数的连续性一.定义若则称f(x,y)在(x0,y0)处连续,称(x0,y0)为f的连续点.间断点:不连续的点.若f(x,y)在平面区域D上每一点都连续,则称f在D上连续,或称f是D上的连续函数,记为fC(D).二元连续函数在四则运算,

5、复合运算下仍为连续函数.二元初等函数在其定义域内都连续.(间断点在无定义的孤立点,线处)例讨论函数的连续性:例求极限二.有界闭区域上二元连续函数的性质有界性最值性介值(零值)性H.W.习题86(2,3,4),Chap8―3偏导数8.3.1偏导数的概念一.定义设f(x,y)在U(P0(x0,y0))有定义.仅给x以增量x相应有函数的增量(对x偏增量)函数f在点(x0,y0)处对x的偏导数偏导数也可记为对变量y的偏导数类似;可偏导:两个偏导数都存在.偏导(函)数:二.偏导数的求法例求函数的偏导数例求函

6、数u=xy(x>0)的偏导数.例设求(历年试题)H.W.习题89(2,4)10(5,7,8,9)三.连续与可偏导可偏导未必连续例考察在(0,0)的情况.连续未必可偏导例考察f(x,y)=

7、x

8、+

9、y

10、在(0,0)的情况.8.3.2偏导数的几何意义Ozyxx0y0P0曲面z=f(x,y)与平面y=y0的交线(平面y=y0上的曲线)fx(x0,y0)是该曲线在P0处的切线关于x轴的斜率.即例求曲线在点(2,4,5)处的切线及其与x轴的夹角.H.W.习题811(2,3)8.3.3高阶偏导数f(x,y)在

11、某邻域内的偏导数fx(x,y),fy(x,y)的偏导数称为f的二阶偏导数.记为类似可定义三阶偏导数,例如例求函数z的所有二阶偏导数例证明函数满足Laplace(拉普拉斯)方程混合偏导数:….问题:混合偏导数是否总与求导次序无关?例设求fxy(0,0),fyx(0,0).分析混合偏导数与求导次序无关的充分条件.定理若f(x,y)的两个二阶混合偏导数在(x,y)连续,则H.W.习题812(2),14(2,4)