lec8_MonteCarlo_method.ppt

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1、蒙特卡罗(MonteCarlo)方法蒙特卡罗方法,或称计算机随机模拟方法,是一种基于“随机数”的计算方法。该方法源于美国在WWI后研制原子弹的“曼哈顿计划”。S.M.Ulam(1908-1984)和该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼(J.vonNeumann)用驰名世界的赌城—摩纳哥的MonteCarlo—来命名这种方法。蒙特卡罗方法其基本思想很早以前就被人们所发现和利用:17世纪,用事件发生的“频率”来决定事件的“概率”;19世纪人们用投针试验的方法来决定π。高速计算机:用数学方法在计算机上大量模拟这样的试验必要性科技计算及社会中的问题比计算π要复杂得多

2、。比如金融衍生产品(期权、期货、掉期等)的定价及交易风险估算,问题的维数(即变量的个数)可能高达数百甚至数千。对这类问题,难度随维数的增加呈指数增长,这就是所谓的“维数的灾难”(CurseofDimensionality),传统的数值方法难以对付(即使使用速度最快的计算机)。MonteCarlo方法能很好地用来对付维数的灾难,因为该方法的计算复杂性不再依赖于维数。以前那些本来是无法计算的问题现在也能够计算量。为提高方法的效率,科学家们提出了许多所谓的“方差缩减”技巧。历史随机抽样方法可以追溯到18世纪后半叶的蒲丰(Buffon)随机投针试验,蒲丰发现了随机投

3、针的概率与π之间的关系。但是一般是将Metropolis和Ulam在1949年发表的论文作为MC方法诞生的标志。20世纪40年代是电子计算机问世的年代,也是研制原子弹的年代。原子弹的研制过程涉及大量复杂的理论和技术问题,如中子运输和辐射运输等物理过程。科学家们在解决中子运输等问题时,将随机抽样方法与计算机技术相结合,从而产生了MonteCarlo方法发展MonteCarlo(MC)方法是在简单的理论准则基础上(如简单的物质与物质以及物质与环境相互作用),采用反复随机抽样的手段,解决复杂系统的问题。该方法采用随机抽样的手法,可以模拟对象的概率与统计的问题。通过

4、设计适当的概率模型,该方法还可以解决确定性问题,如定积分等。随着计算机的迅速发展,MC方法已在应用物理、原子能、固体物理、化学、材料、生物、生态学、社会学以及经济学等领域得到了广泛的应用。MonteCarlo特点MonteCarlo方法与传统数学方法相比,具有直观性强、简便易行的优点。该方法能处理一些其他方法无法解决的复杂问题,并且容易在计算机上实现,特别是在计算机高度发展的今天,该方法能够解决很多理论和应用科学问题,在很大程度上可以代替许多大型的、难以实现的复杂试验或社会行为过程MonteCarlo基本思想MonteCarlo方法的基本思想是,为了求解某个

5、问题,建立一个恰当的概率模型或随机过程,使得其参量(如事件的概率、随机变量的数学期望等)等于所求问题的解,然后对模型或过程进行反复多次的随机抽样试验,并对结果进行统计分析,最后计算所求参量,得到问题的近似解。MonteCarlo方法是随机模拟方法;但是,它不仅限于模拟随机性问题,还可以解决确定性的数学问题。对随机性问题,可以根据实际问题的概率法则,直接进行随机抽样试验,即直接模拟方法。对于确定性问题采用间接模拟方法,即通过统计分析随机抽样的结果获得确定性问题的解。MonteCarlo应用领域用MonteCarlo方法解决确定性的问题主要是在数学领域,如计算重

6、积分、求逆矩阵、解线性代数方程组、解积分方程、解偏微分方程边界问题和计算微分算子的特征值等。用MonteCarlo方法解决随机性问题则在众多的科学及应用技术领域得到广泛的应用,如中子在介质中的扩散问题、库存问题、随机服务系统中的排队问题、动物的生态竞争、传染病的蔓延等。MonteCarlo方法在材料计算领域的应用也主要是解决随机性问题。简单例子Simpleexample:EvaluatetheareaofonecycleorPIfromnumericalevaluation(dartboardmethod)Partitionthespaceintogrids

7、fornumericalevaluationTediousandthoroughstudyisenumerateeachgridwhethersatisfiesr

8、型能够直接描述实际的随机过程。②根据概率统计模型的特

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