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时间:2020-03-01
《(江苏)高考数学 压轴大题突破练 圆锥曲线.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、中档大题规范练——圆锥曲线1.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),实半轴长为.(1)求双曲线C的方程;(2)若直线l:y=kx+与双曲线C的左支交于A,B两点,求k的取值范围;(3)在(2)的条件下,线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0,b),求b的取值范围.解 (1)设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),由已知,得a=,c=2,b2=c2-a2=1,故双曲线方程为-y2=1.(2)设A(xA,yA),B(xB,yB),将y=kx+代入-y2=1,得(1-3k2)x2-6kx-9=0.由题意
2、,知解得0)的焦点为F2,设椭圆C1与抛物线C2的一个交点为P(x0,y0),PF1=.(1)求
3、椭圆C1的标准方程及抛物线C2的标准方程;(2)直线x=m与椭圆C1在第一象限的交点为Q,若存在过点A(4,0)的直线l与椭圆C1相交于不同的两点M,N,使得36AQ2=35AM·AN,求出直线l的方程.解 (1)∵在椭圆C1中c=m,e=,∴a=2m,b2=3m2,设椭圆C1的方程为+=1,-7-联立+=1与y2=4mx,得3x2+16mx-12m2=0,即(x+6m)·(3x-2m)=0,得x=或-6m(舍去),代入y2=4mx得y=±,∴设点P的坐标为(,),PF2=+m=,PF1=2a-==,∴m=
4、1,此时,椭圆C1的标准方程为+=1,抛物线C2的标准方程为y2=4x.(2)由题设知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-4),由消去y整理,得(3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0.由题意知Δ=(-32k2)2-4(3+4k2)(64k2-12)>0,解得-5、(k2+1)[x1x2-4(x1+x2)+16]=(k2+1)(-4×+16)=(k2+1)·.-7-∴(k2+1)·=,解得k=±,经检验成立.∴直线l的方程为x-2y-4=0或x+2y-4=0.3.(2013·课标全国Ⅱ)平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:+=1(a>b>0)右焦点的直线x+y-=0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为.(1)求M的方程;(2)C,D为M上的两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值.解 (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),6、则+=1,①+=1,②①-②,得+=0.因为=-1,设P(x0,y0),因为P为AB的中点,且OP的斜率为,所以y0=x0,即y1+y2=(x1+x2).所以可以解得a2=2b2,即a2=2(a2-c2),即a2=2c2,又因为右焦点(c,0)在直线x+y-=0上,解得c=,所以a2=6,所以M的方程为+=1.(2)因为CD⊥AB,直线AB方程为x+y-=0,所以设直线CD方程为y=x+m,将x+y-=0代入+=1得:3x2-4x=0,即A(0,),B,所以可得AB=;将y=x+m代入+=1得:3x2+4m7、x+2m2-6=0,设C(x3,y3),D(x4,y4),则CD==,又因为Δ=16m2-12(2m2-6)>0,-7-即-3b>0),⊙O:x2+y2=b2,点A,F分别是椭圆C的左顶点和左焦点,点P是⊙O上的动点.(1)若P(-1,),PA是⊙O的切线,求椭圆C的方程;(2)是否存在这样的椭圆C,使得恒为常数?如果存在,求出这个常数及C的离心率e;如果不存在,请说明理由.解 (1)由P(8、-1,)在⊙O:x2+y2=b2上,得b2=1+3=4.直线PA的斜率kPA==,而直线PA的斜率kPA=-=,所以=,解得a=4.所以a2=16,所以椭圆C的方程为+=1.(2)假设存在椭圆C,使得恒为常数.设椭圆C的半焦距为c,当P(-b,0)时,则有=;当P(b,0)时,则有=.依假设有=.①当c-b>0时,有=,所以(a-b)(b+c)=(a+b)(c-b),化简整理得a=c,这是不可能的.②当c-b<0
5、(k2+1)[x1x2-4(x1+x2)+16]=(k2+1)(-4×+16)=(k2+1)·.-7-∴(k2+1)·=,解得k=±,经检验成立.∴直线l的方程为x-2y-4=0或x+2y-4=0.3.(2013·课标全国Ⅱ)平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:+=1(a>b>0)右焦点的直线x+y-=0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为.(1)求M的方程;(2)C,D为M上的两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值.解 (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),
6、则+=1,①+=1,②①-②,得+=0.因为=-1,设P(x0,y0),因为P为AB的中点,且OP的斜率为,所以y0=x0,即y1+y2=(x1+x2).所以可以解得a2=2b2,即a2=2(a2-c2),即a2=2c2,又因为右焦点(c,0)在直线x+y-=0上,解得c=,所以a2=6,所以M的方程为+=1.(2)因为CD⊥AB,直线AB方程为x+y-=0,所以设直线CD方程为y=x+m,将x+y-=0代入+=1得:3x2-4x=0,即A(0,),B,所以可得AB=;将y=x+m代入+=1得:3x2+4m
7、x+2m2-6=0,设C(x3,y3),D(x4,y4),则CD==,又因为Δ=16m2-12(2m2-6)>0,-7-即-3b>0),⊙O:x2+y2=b2,点A,F分别是椭圆C的左顶点和左焦点,点P是⊙O上的动点.(1)若P(-1,),PA是⊙O的切线,求椭圆C的方程;(2)是否存在这样的椭圆C,使得恒为常数?如果存在,求出这个常数及C的离心率e;如果不存在,请说明理由.解 (1)由P(
8、-1,)在⊙O:x2+y2=b2上,得b2=1+3=4.直线PA的斜率kPA==,而直线PA的斜率kPA=-=,所以=,解得a=4.所以a2=16,所以椭圆C的方程为+=1.(2)假设存在椭圆C,使得恒为常数.设椭圆C的半焦距为c,当P(-b,0)时,则有=;当P(b,0)时,则有=.依假设有=.①当c-b>0时,有=,所以(a-b)(b+c)=(a+b)(c-b),化简整理得a=c,这是不可能的.②当c-b<0
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