常用数学定理(绝对有用!).doc

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1、三角函数部分定理1.正弦定理：（其中为三角形外接圆半径）．2．余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2accosB；c2=a2+b2-2abcosC3.三角形面积公式三角函数形式：几何部分定理1.广勾股定理：在任一三角形中，(1)锐角对边的平方，等于两夹边的平方和，减去某夹边和另一夹边在此边上的投影乘积的两倍．(2)钝角对边的平方，等于两夹边的平方和，加上某夹边与另一夹边在此边延长上的投影乘积的两倍．证明：设△ABC中，BC是锐角A的对边．作CH⊥AB于H，根据勾股定理：BC^2=BH^2+CH²而BH=AB-AH,CH^2=AC

2、^2-AH^2带入后有：BC^2=(AB-AH)^2+AC^2-AH^2简化后：BC^2=AB^2+AC^2-2AB·AH钝角时的证明如下，与上面有点类似：BC^2=BH^2+CH^2而BH=AB+AH,CH^2=AC^2-AH^2同理：BC^2=(AB+AH)^2+AC^2-AH^2简化后：BC^2=AB^2+AC^2+2AB·AH2．中线定理：设△ABC的边BC的中点为，则有中线长：3.角平分线定理（1）定理1角平分线上的点到这个角两边的距离相等。逆定理：在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。（2）定理2三角形一个角的平分线与其对

3、边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。AB:AC=BD:CD（3）角平分线长公式：第一形式在△ABC中，∠A的角平分线记为 ，∠B的角平分线记为  ，∠C的角平分线记为  ，三边边长为a、b、c，则其中p是半周长。第二形式三角形ABC的角平分线为AD，D在CB上。则第三形式△ABC中，角平分线4.斯特瓦尔特(Stewart)定理：设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有AB2·DC+AC2·BD－AD2·BC＝BC·DC·BD．5.张角定理：用三角形面积公式正弦形式可证6.托勒密定理定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和AC·BD

4、=AB·CD+AD·BC．2证明在AC上取点E，使ÐADE=ÐBDC，由ÐDAE=ÐDBC，得⊿AED∽⊿BCD．∴AE∶BC=AD∶BD，即AE·BD=AD·BC．⑴又ÐADB=ÐEDC，ÐABD=ÐECD，得⊿ABD∽⊿ECD．∴AB∶ED=BD∶CD，即EC·BD=AB·CD．⑵⑴+⑵，得AC·BD=AB·CD+AD·BC．7．弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角．8．圆幂定理是指相交弦定理、切割线定理及割线定理相交弦定理圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段的积相等.切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比

5、例中项割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.9.塞瓦定理利用面积关系证明∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③同理CE/EA=S△BOC/S△AOB ④，AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤③×④×⑤得证。10.在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：BD²=AD·CDAB²=AC·ADBC²=CD·AC11.海伦公式公式中a，b，c分别为三角形三边长，p为半周长，S为

6、三角形的面积。12.两点间斜率公式13.两点间距离公式14.中点坐标公式15.点到直线距离公式16.立方公式例题1：如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若AB=4+，BC=2，求⊙O的半径．可以试用多种解法例题2：如图⊙O的半径为1，弦AB=1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是_____。2