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1、绝对值的意义及应用绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛.在解与绝对值有关的问题时,首先必须弄清绝对值的意义和性质。对于数X而言，它的绝对值表示为：
2、x
3、.%1.绝对值的实质:正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即.
4、“x>0[-Xx<0也就是说，
5、x
6、表示数轴上坐标为X的点与原点的距离。总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即1x120,请牢牢记住这一点。%1.绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。例1・有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子
7、a
8、
9、+
10、b
11、+
12、a+b
13、+
14、b-c
15、化简结果为（）abci1Iiii-101A.2a+3b-cBe3b-cC.b+cD.c~b（第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题）解:由图形可知a<0,c>b>0,且
16、c
17、>b>
18、a
19、,则a+b>0,b~c<0.所以原式=-a+b+a+b-b+c=b+c,故应选（C）.%1.绝对值的性质：1.有理数的绝对值是一个非负数，即
20、x
21、20,绝对值最小的数是零°2.任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即xW
22、x
23、。3.已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互
24、为相反数的数。4.若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如
25、6
26、=
27、-6
28、,但6工-6),只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。%1.含绝对值问题的有效处理方法1.运用绝对值概念。即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。例2・已知：x-2+x-2=0,求：(l)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。解:V
29、x_21+x~2=0,
30、x_21=-(x~2)根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，・・・x-
31、2W0,即xW2,这表示x的最大值为2⑴当x=2时，x+2得最大值2+2=4；⑵当x=2时，6-x得最小值6-2=42.用绝对值为零时的值分段讨论.即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。例3・已知
32、x-2
33、+x与x-2+
34、x
35、互为相反数，求x的最大值.解：由题意得(
36、x~21+x)+(x~2+1x
37、)=0,整理得
38、x-21+1x
39、+2x-2=0令
40、x-21=0,得x=2,令x=0,得x=0以0,2为分界点，分为三段讨论：(1)x^2时，原方程化为x
41、-2+x+2x-2=0,解得x=l,因不在x22的范围内，舍去。(2)0Wx<2时,原方程化为2-x+x+2x-2=0,解得x=0(3)x<0时，原方程化为2-x-x+2x-2=0,从而得x<0综合(1)、(2)、(3)知xWO,所以x的最大值为03.整体参与运算过程.即整体配凑，借用己知条件确定绝对值里代数式的正负，再用绝对值定义去掉绝对值符号进行运算。例4・若
42、a-2
43、=2-a,求a的取值范围。解：根据已知条件等式的结构特征，我们把「2看作一个整体，那么原式变形为
44、「2
45、=-(a-2),又由绝对值概念知「2W
46、0,故a的取值范围是&W21.运用绝对值的几何意义.即通过观察图形确定绝对值里代数式的正负，再用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算.例5・求满足关系式
47、x-3
48、-
49、x+l
50、=4的x的取值范围.解：原式可化为
51、x-3
52、-
53、x-(-l)
54、=4它表示在数轴上点x到点3的距离与到点-1的距离的差为4由图可知，小于等于-1的范围内的x的所有值都满足这一要求。1►x03所以原式的解为xW-l%1.有关绝对值知识的应用1.如果根据已知条件或题目中的隐含条件可以确定绝对值符号内的数(或代数式)为“负”值或“非负”值，则由绝对值的
55、定义可直接写出其结果.例6.设x,y,a是实数，并且
56、x
57、=l-a,
58、y
59、=(l-a)(a-1-a2),试求等于x+y+a2+l的值解：显然
60、x
61、$0,
62、y
63、MO,1?•・、_1_尹=-)2_-<0,・••由
64、x
65、N0得1-a^O,由
66、y
67、M0得1-aWO,/.l-a=0,从而x=0,y=0,a=l・・・原式=
68、0
69、+0+F+l=22.如果根据已知或题目自身不能确定绝对值符号内的代数式为“负”或“非负”，就应分别对各种情况进行讨论。讨论的方法有：(1)直接利用绝对值的性质，去掉绝对值符号，把式子转化为不含绝对值的
70、式子进行讨论。例7・已知
71、a
72、=3,
73、b
74、=2,求a+b的值。解：・rial=3,
75、b
76、=2,:.a=3或-3,b=2或-2因此d,b的取值应分四种情况：a=3,b=2或a=3,b=-2或a=-3,b=2或a=-3,b=-2,从而易求a+b的值分别为5,1,-1,-5解这类问题，要正确组合，全面思考，谨防漏解。(1)采用零点分区间法，求出绝对值的零点，把数轴分成相应的几个
