不定方程的整数解修改稿.doc

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1、一次不定方程的整数解讲稿序言　什么是不定方程我们知道在方程（方程组）里，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的。例如2x－y－1＝0，则：y＝2x－1.分别令x＝1，2，3，4，5，…，就可以求出对应的n值.我们可以列表说明：x12345678…y13579111315…∴它的解有无穷多组：，，，，，…….也就是说：2x－y－1＝0的所有的解（称为通解）为：y＝2x－1.注意：上面只列出了它的正整数解.如果用k代替x，用n代替y，并且k和n只代表正整数，得到的答案是：2k－n－1＝0的所有的解（称为通解）为：n＝2k－1.n

2、＝1，3，5，7，9，….这个结论表明：如果k取一切正整数1，2，3，…，那么n表示所有的奇数（1，3，5，7，9…）.请记住这个结论：n＝2k－1表示所有的奇数.又如x－2y＝300的解是：x＝2y＋300，每给出一个y的值，就有一个x的值与之对应.例如y＝0，1，2，3，4，5，…，就可以求出对应的x值，我们可以列表说明：x300302304306…200100…y0123…－50－100…∴它的解有无穷多个.又如方程组，(2)－(1)消去一个未知数y之后，就变形为一个二元一次方程：2y－z＝80所以它的解也是不确定的．像这类方程或方程组就叫不定方程

3、或不定方程组．例1有一堆鹅卵石，不知总个数.但知道：每次取3个，最后余2个；每次取5个，最后也是余2个；每次取7个，最后还是余2个；问这堆鹅卵石共多少个?13…余…余…余分析与解：实际上这个问题转化为数学问题就是：有一个正整数，无论被3除，被5除或者被7除，都余2；求这个数.如果列方程组就是：求个正整数M：我们不妨这样来解：因为这个整数不论被3除，被5除或者被7除，总是余2；我们先求出它的一个特解：∵3×5×7＝105可以被3、5、7整除，∴3×5×7＋2被3、5、7除余数都是2，∴105＋2＝107就是这个问题的一个特解；∵3×5×7×n也可以被3、5

4、、7整除，∴这个问题的特解107加上105n之后，被3、5、7除，余数也是2；∴其通解是107＋105n.例2现在把上一个问题改为：每次取3个，最后余2个；每次取5个，最后余3个；每次取7个，最后余2个；问这堆鹅卵石共多少个?…余…余…余分析与解：我们不妨凑凑看，因为这个数被3和7余数都是2，这个数可能是3和7的最小公倍数21的k倍＋2，即21k＋2：k21的1倍＋221的2倍＋221的3倍＋221的4倍＋2…21＋2＝2342＋2＝4463＋2＝6584＋2＝86…23，44，65，86，107，…中哪一个能被5除余3，就是它的特解.太巧了，第一个23

5、被5除余313，就是它的一个特解，根据上例的分析，其通解是3×5×7n＋23＝105n＋23.【说明】先求出它的一个特解是问题的关键．这就是《孙子算经》中的“物不知数”问题．原题是：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？答曰：二十三”意思就是，有一些物品，如果三个、三个的数，最后剩2个；如果五个、五个的数，最后剩3个；如果七个、七个的数，最后剩2个；求这些物品一共有多少？注：《孙子算经》是南北朝时一部重要的数学著作。为我国古代《算经十书》之一，《孙子算经》的作者生平和编写年代都不清楚.现在传本的《孙子算经》共三卷.如果把这

6、个问题列成方程组就是：设这个数为N，即N等于3的倍数加2，等于5的倍数加3，等于7的倍数加2，求N.则这是一个含4个未知数的3个方程，开始时我们已经说过这是不定方程组。要解决这一类问题，还要从二元一次不定方程学起．下面我们就要研究这一类问题的一般解法。一、求整系数二元一次不定方程的整数解之1　一般解法　　求一个不定方程的整数解问题，如果都这样去凑数，就太麻烦了，下面介绍“求整系数的一次方程组的整数解”的一般方法.【定义】我们把方程ax＋by＝c（系数a，b，c为整数，并且a，b都不为零）叫做二元一次不定方程.（如果a，b之中有一个为零，就不是不定方程了）

7、对于两个整数a，b，我们约定用记号(a，b)＝d表示a和b的最大公约数，(a，b)＝1表示a，b互质．我们先研究整系数方程ax＋by＝c中，x、y的系数a，b互质的情况.即(a，b)＝1，或者说：整数a，b除1之外没有公约数．例1求整系数方程5x＋21y＝17的整数解．这里x，y的系数5和21互质，即5和21的最大公约数（5，21）＝1.分析求不定方程的整数解的关键是：找到一个参数t（整数），使得未知数x，y（整数）都能够用已知数和参数t表示出来.解法1其中x的系数比y的系数小，先解出x，x＝＝＝3－4y＋(1)∵两边都是整数，∴是整数　设＝t，（t为整

8、数）得y＝2－5t(2)代回(1)得：x＝3－4(2－5t)＋t＝－5＋21t1