3、弦公式求解;(3)已知三角形内角间的倍角关系时,通常可利用倍角公式来处理. 分类透析二 利用正弦定理、余弦定理解三角形例2在如图所示的△ABC中,已知点D在BC的边上,且AD⊥AC,sin∠BAC=223,AB=32,BD=3.(1)求AD的长;(2)求cosC.分析(1)由余弦定理求得关于AD的一元二次方程,进而求出AD的长.(2)先由cos∠BAD求得sin∠BAD,再根据正弦定理求出sin∠ADB,最后利用∠ADB=π2+∠C的关系求出cosC.解析(1)因为AD⊥AC,所以sin∠BAC=sinπ2+∠BAD=cos∠BAD,所以cos∠BAD=223.在△
4、ABD中,由余弦定理可知,BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAD,即AD2-8AD+15=0,解得AD=5或AD=3.由于AB>AD,所以AD=3.(2)在△ABD中,由正弦定理可知BDsin∠BAD=ABsin∠ADB.又由cos∠BAD=223,可知sin∠BAD=13,所以sin∠ADB=AB·sin∠BADBD=63.因为∠ADB=∠DAC+∠C=π2+∠C,所以cosC=63.方法技巧解三角形的关键是分清所解三角形中的已知元素和未知元素,由已知条件合理选用正弦定理、余弦定理,注意角的范围与三角函数符号之间的联系. 分类透析三 三角恒等变换与解
5、三角形的综合应用例3在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足3c-acosA=bcosB,D是AC边上的一点.(1)求cosB的值;(2)若AB=2,AD=2DC,BD=433,求△ABC的面积.分析(1)先化简已知等式,再根据角的范围求出cosB.(2)设AD=2DC=2x,利用∠CDB=π-∠ADB和余弦定理建立方程组求出a,再由cosB求出sinB,代入S=12acsinB中,进而求出△ABC的面积.解析(1)由3c-acosA=bcosB,得3ccosB-acosB=bcosA,3ccosB=acosB+bcosA. 由正弦定理得3sinC
6、cosB=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sinC.因为sinC≠0,所以cosB=13.(2)设BC=a,AD=2DC=2x,则在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC,即9x2=4+a2-4a3. ①在△ABD中,由余弦定理得cos∠ADB=(2x)2+4332-222·2x·433; 在△BDC中,由余弦定理得cos∠CDB=x2+4332-a22·x·433.因为cos∠CDB=-cos∠ADB,所以3x2-a2=-6. ②由①②,解得a=3.又因为sin∠ABC=1-19=223,所以△ABC的面积
7、为12AB·BCsin∠ABC=22.方法技巧(1)一般地,如果条件为含有角的余弦或边的代数式,要灵活运用正弦、余弦定理实现边角转化;(2)三角形的面积公式涉及边、角,常和正弦、余弦定理结合起来运用.1.(2018年江苏卷,16改编)已知cosπ6+αcosπ3-α=-14,α∈π3,π2.(1)求sin2α的值;(2)求tanα-1tanα的值.解析(1)∵cosπ6+αcosπ3-α=cosπ6+αsinπ6+α=12·sin2α+π3=-14,∴sin2α+π3=-12.∵α∈π3,π2,∴2α+π3∈π,4π3,∴2α+π3=7π6,解得2α
