期末复习宝典及补充试题.doc

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1、2007－2008微积分（二）期末练习题一、定积分与应用。2．设求3．4．下列广义积分发散的是_________.5．计算积分：6．求由抛物线和所围成的图形的面积。7．过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及轴围成平面图形D，求D的面积A.8．设连续，则。9．(f(x)连续)。11．。同类题：求一连续可导函数使其满足下列方程:另有：求区别：满足的f(x)的幂级数展开式=。答案：，，（后面有解的过程）12．设在[0，1]上连续且为单调减函数，证明对任意。13．二、多元函数微分学1．若函数在区域D内具有二阶偏导数，则结论正确的是。A必有；B；C

2、；D（A），（B），（C）都不对。2.二元函数的极值点与驻点是（）关系。3．函数的全微分是4．设确定：，求5．已知，求的偏导数7．设，其中具有连续的二阶偏导，求。8．某公司为推销自己的商品，采用两种方式做广告，已知销售收入R（万元）与电视广告费x（万元），报纸广告费y（万元）有如下关系：（1）在广告费用不限的情况下，求最佳广告策略（2）如果提供的广告费用为1.5万元，求相应的广告策略。三、二重积分1．设。2．求3．求重积分，其中4.求，其中D是由圆和所围成的平面区域.5．求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.四、无穷级数0.部

3、分和数列有界是正项级数收敛的()。A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件1.判断敛散性：、。2.已知级数，，则级数等于。3.已知收敛，收敛，则（）。A．为无穷大B．收敛C．发散D．敛散性不能确定4.设级数绝对收敛，则（）。A．发散B．条件收敛C．敛散性不能判定D．绝对收敛6．若级数在x=-1（条件）收敛，则其在x=2处_______.A条件收敛B绝对收敛C发散D不能确定7．求幂级数的收敛半径和收敛域。8．求级数的和函数。9．10．设，则。11.12.求满足的f(x)的幂级数展开式=13．设（1）求的值（2）证明：对任

4、意常数，级数收敛五、微分方程1.已知为的特解，则的一个（以表示）特解为2．设线性无关的函数都是的解，是任意常数，则该方程的通解是。3．已知微分方程有三个解此方程满足初始条件的特解为。4．具有通解为任意常数）的2阶常系数齐次线性微分方程是（）5.求的通解6.求的通解2007－2008微积分（二）期末练习题答案一、定积分与应用1.答：2.解：定积分为常数,故应用积分法定此常数.设则3.答：4.A5.解：而所以原积分发散。6.解：由，求得交点(-1,1),(1,1)7.解：设切点的横坐标为则所求切线方程为由切线过原点知因此故切线方程为D的面积为

5、8.A9.10.11.解：=上式两边关于求导，得，为可分离变量的一阶微分方程求特解又同类题：解：令则有一阶线性方程求特解利用公式可求出。另有：求令，一阶微分方程求通解12.证：令=，则在[0，1]上连续，且，又。因为单调减函数，故由积分中值定理得：。所以13.证一:在单减，证二:左端=右端二、多元函数微分学1.D2.答：既非充分也非必要3.答：.4.解：————————（*）由两边对x求导得由两边对x求导得代入（*）式得5.解：等式两边关于求导，得解得等式两边关于求导，得解得6.7.解：令,则，＋＋。8.解：（1）利润函数的唯一驻点。这时

6、L=38.25万元。（2）令得到唯一驻点由题意知最大值一定存在，故万元。三、二重积分1.解：2.解1：因的被积函数不是初等函数不能直接积分，代入有交换积分顺序得解2：利用分步积分法及变上限定积分的导数计算再分步积分得3.解：由被积函数和积分域的特点考虑用极坐标积分4.【分析】首先，将积分区域D分为大圆减去小圆，再利用对称性与极坐标计算即可.解：令，由对称性，..所以，.5.解:设由对称性可知四、无穷级数0.答：C1.答：收敛、发散2.答：83.B4.D5.B6.B7.解：因为所以收敛半径R=。当时，级数化为：因上式右端两个级数都收敛，所以

7、级数收敛。当时，级数化为：因上式右端中第一个级数发散，第二个级数收敛，所以级数发散。由不等式，得，级数的收敛域是，收敛半径R=。8.解：这是缺项的幂函数，由于，因此当<1时，级数收敛；当>1时,级数发散，故原级数的收敛域为（－1，1）。令s(x)=，s(0)=0，又，故，（－1

8、通解为代入初始条件故所求特解为4.5.解：方程变形（伯努利方程n=-1）令由一阶线性方程通解公式,得为通解。6.解：（伯努利方程n=2）令其通解为将代入,得原方程通解: