自旋 我们生活在一个怎样的世界里.doc

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1、电子的自旋对于电子，我们已经有些了解，知道它带一个单位的负电荷，与带电体发生Coulomb相互作用。除了带电这一属性，电子的另外一个内在属性就是自旋。自旋是一个非常重要的概念，是本书的基础。作为一个纯量子力学概念，自旋和生活中的直观经验并不符合。为了理解自旋，我们把它与一些熟悉的事物作类比。a)自旋与地球自转自旋，顾名思义，“绕着自己旋转”。电子也在绕着自己转动，就好象地球自转一样。但是这有本质的不同。地球自转，是绕着固定的地轴旋转，而电子自旋，作为一种内秉的对称性，其轴是不确定的。当我们想知道这个旋转轴的方

2、向，从某个角度看过去的时候，自旋的“旋转轴”，就总是垂直于我们观测的方向[注]。我们可以把旋转轴看作一个向量，它有大小，表示旋转的强弱，也有方向，是绕轴旋转的方向。对于一个来说，当我们从不同方向去看它的时候，我们看到的是它在视角上方向上的投影，见下图1-3。 图1-3观察地轴投影。我们看到的是向量在这个方向上的投影，长度为Lcos(theta)，其中L为向量的长度，theta为向量方向与观察方向的夹角。显然，当我们平行与地轴的方向看过去时，投影为零，但当我们垂直看过去时，投影最大。如果我们把自旋的轴也当作向量

3、，对电子做同样的“观测”，则会发现，无论我们从何种角度看过去，电子自旋的轴（以下简称自旋）在各个方向上，投影大小都相同——它们都一样长！(见图1-4)此外，自旋向量的方向，在每个视角看去，都有两个选择，彼此反平行。但是一次观测中，只能看到一种选择，或是朝“上”，或是朝“下”。具体哪个指向被观察到，对于一束非极化的电子（没有故意保留一个指向的电子而剔除掉另外一个指向），是完全随机的。因为向量的投影大小随着视角的方向变化，而自旋的投影却保持不变，所以把电子自旋当作通常意义上的向量是不恰当的。实际上，它是向量算子，

4、代表着一类和向量有相同变换规律的运算。即便如此，在很多情形下，我们就用通常意义上的向量（经典向量），来近似的描述电子自旋的性质。 图1-4与观测地轴投影不同，自旋的“轴”在不同方向的投影大小相同。在任一视角上，其投影方向有两种选择，或“上”或“下”。地球的自转轴的长度，随着自转快慢而变长变短，而电子的自旋的“长度”，是一个固定的值，与外界任何条件都无关，就像它的电荷数是定值一样。从这一点我们也可以看出，自旋是电子的内在属性。b)自旋与翻硬币搞清楚自旋与地球自转的区别之后，自旋的故事似乎结束了。然而，真正的有趣

5、尚未开始。在上面的例子里，我们看到，每次对于自旋的观测，都能得到或“上”或下的结果。而且，对于一束没有特别安排自旋方向的电子，其结果是随机的。这很像翻硬币过程——同样都是输出两个结果，而且输出哪个是随机的。但这和翻硬币有本质的不同。为了说明这个不同，先推广空间的概念：对于一个物理过程，所有可能物理状态的**就叫做空间。比如三维实空间，一个“状态”就意味着粒子处在一个三维坐标上。对于翻硬币过程，所有可能结果即正面和反面，非正即反[忽略零测度的],根据以上空间的定义，{正，反}这两个状态，构成了这个空间有且仅有的

6、两个元素。我们管“正”“反”叫做这个空间的“态”，那么结果的**{正，反}就定义了一个态空间。这有何神奇的呢？只要再外加一个看似不起眼原理，就能完完全全的改变它的性质，得它们成为量子力学的空间。这个原理叫做叠加原理，就是说，如果“正面”和“反面”是空间里的态，那么它们的任意线性叠加也是该空间的态。薛定谔的猫，亦死亦活，就是这个意思。如果“死”是空间里的一个态，“活”是空间里的另一个态，那么“死+活”的又死又活态也是该空间的一个态。也许这看似不可思议，但这正是量子力学的神奇之处；在非量子的经典空间1，如翻硬币的

7、空间或者猫的死活的空间，没有亦正亦反的态，但是如果是量子力学的硬币，或量子力学里的猫，那么允许这种又死又活的猫，或者又正又反的硬币的叠加态的存在。 图1-5叠加态的概念。这样，如果把电子自旋朝“↑”看作硬币正面，自旋朝“↓”看作硬币反面，“↓”和“↑”，即观察自旋后，看到的态，如同硬币翻之后得到正反面一样。在物理上，我们把态写在尖括号里，即

8、↑>和

9、↓>。对于经典的硬币，其态空间里仅有{正，反}两个元素，对于电子自旋（量子硬币），虽然输出的测量结果也是非“↑”即“↓”，但是根据叠加原理，其态空间却允许任意的a

10、

11、↑>+b

12、↓>存在，其中a与b是复系数。c)自旋与二维笛卡尔坐标系(x,y)电子自旋空间里，一个态可以分解为以

13、↓>与

14、↑>基向量的线性组合。这不难联想到二维笛卡尔坐标系的向量：一个向量，可以分解为x分量与y分量的组合：

15、Ψ>=a

16、↑>+b

17、↓>=<↑

18、Ψ>

19、↑>+<↓

20、Ψ>

21、↓>式中，与分别为x,y方向上的单位向量。 这样，我们就建立了态与向量之间的类比。它们都存在基向量，都可以被分量分解。更进