第二十四章圆知识点结.doc

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1、第二十四章　圆　小结普安县高棉中学　初三（3）班　王光金Ⅰ、本章知识结构框图：Ⅱ、本章知识点：1、圆的定义：圆有两种定义方式：（１）在一个平面内线段ＯＡ绕它固定的一个端点Ｏ旋转一周，另一个端点Ａ随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点Ｏ叫做圆心，线段ＯＡ叫做半径。（２）圆是所有点到定点Ｏ的距离等于定长ｒ的点的集合。注意：定义（１）是描述性定义，定义（２）揭示了圆的本质，一方面说明圆上各点到定点（圆心Ｏ）的距离等于定长（半径ｒ的长），另一方面说明到定点的距离等于定长的点都在圆上。确定一个圆有２个元素，一个是圆心，一个是半径，圆心确定

2、圆的位置，半径确定圆的大小。-12-２、和圆相关的概念：（１）弦：连结圆上任意两点的线段；（弦不一定是直径，直径一定是弦，直径是圆中最长的弦）（２）直径：经过圆心的弦；（３）弧：圆上任意两点间的部分；（弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数，等于这条弧所对圆周角的两倍）（４）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆；（５）优弧：大于半圆的弧，用三个大写字母表示；（６）劣弧：小于半圆的弧，用两个大写字母表示；（７）弓形由弦及其所对的弧组成的图形；（８）等圆：能够重合的两个圆；（９）等弧：在同圆或等圆中，能够互

3、相重合的弧；（１０）同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆；（１１）圆心角：定点是圆心的角；（１２）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角；（１３）弦心距：圆心到弦的距离。注意：（１）直径等于半径的２倍；　　（２）同圆或等圆的半径相等；　　（３）等弧必须是同圆或等圆中的弧；　　（４）弧长相等的弧不一定是等弧，但等弧的弧长必相等。３、圆心角的定义及性质：（１）圆心角的定义：定点是圆心的角叫做圆心角。（２）圆心角、弦、弧的有关定理：①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；②在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么这两

4、条弧所对的圆心角相等，所对的弦相等；③在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等，所对的弧相等。4、圆周角的定义及性质：（１）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。注意：（１）圆周角必须具备两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交，二者缺一不可；-12-（２）圆周角和圆心角的相同点：两边都和圆相交；不同点：圆心角的顶点在圆心；圆周角的顶点在圆上。（２）圆周角的性质：①一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半；②在同圆或等圆中，同弧（或等弧）所对的圆周角相等；③在同圆或等圆中，相等的

5、圆周角所对的弧相等；④半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于９０°（直角）；⑤９０°的圆周角所对的弦是圆的直径，所对的弧是半圆；⑥如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。5、垂径定理与推理：（１）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。注意：这个结论中涉及圆中不是直径的弦与直径所在直线的关系，如果圆的一条非直径的弦和一条直线满足以下五个条件中的任意两个，那么它一定满足其余三个：（１）直线过圆心；（２）直线垂直于弦；（３）直线平分弦；（４）直线平分弦所对的劣弧；（５）直线平分弦所对的优弧

6、，也可简单地理解为“二推三”。（２）垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。6、圆的对称性：（１）圆既是中心对称图形，又是轴对称图形。将圆周绕圆心旋转１８０°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心，将圆周绕圆心旋转任意一角度都能与自身重合，这说明圆具有旋转不变性，是旋转对称的特例。经圆心画任意一条直线，并沿此直线将圆对折，直线两旁的部分能够完全重合，所以圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以圆有无数条对称轴。（２）在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

7、：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等。注意：运用本知识时应注意其成立的条件：“在同圆或等圆中”，也可简单地理解为“一推三”。-12-７、点与圆的位置关系：点与圆有三种位置关系：点在圆外、点在圆上、点在圆内。设⊙Ｏ的半径为ｒ，点到圆心Ｏ的距离为ｄ，则有：点在圆外↔ｄ＞ｒ；点在圆上↔ｄ＝ｒ；点在圆内↔ｄ＜ｒ。注意：可以根据点到圆心的距离与圆的半径的大小比较来确定点与圆的位置关系。８、确定圆的条件：过一个点可以作无数个圆；过两个点可以作无数个圆，这些圆的圆

8、心在连接这两个点的线段的垂直平分线上；过在同一条直线上的三个点不能作圆；过不在同一直线上的三个点可确定一个圆。９、三角形的外接圆及外心：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。注意：（１）三角形的外