陕西省2019年中考数学解答专项面积平分问题练习.docx

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1、面积平分问题1.问题探究在矩形ABCD中，AD＝a，AB＝b(b>a)，P为AB边上一点，且PB＝m(m

2、AE不能超过BC的中点，为补偿占用的绿地，试在AE的延长线上找出一点F，使四边形ADCF的面积与原矩形ABCD的面积相等，试在图③中画出图形并说明理由．(1)证明：如解图①，∵△MPB与△NPB同底等高，∴S△MPB＝S△NPB；第1题解图①(2)解：S△ACR＝S△ACQ＋S△AQR＋S△CQR＝b(a－m)＋m2＋m(a－m)＝(ab＋am－bm)，∵S△ACR＝S矩形ABCD，∴(ab＋am－bm)＝ab，∴ab＋2am－2bm＝0；(3)解：如解图②，连接AC，过点B作BF∥AC交AE的

3、延长线于点F，连接CF.第1题解图②设AC到BF的距离为h，则S△ABC＝AC·h，S△ACF＝AC·h，∴S△ABC＝S△ACF，∴S△ABE＝S△CEF，∴S矩形ABCD＝S四边形ADCF.1.问题探究(1)如图①，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABC的面积为S，则△ACD的面积为________；(2)在图②中，当点E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、BC的中点时，记四边形BEDF的面积为S1；当点E、F分别在平行四边形ABCD的边AB、BC上时，且满足AE＝AB，BF＝BC

4、，记此时的四边形BEDF的面积为S2.证明：S1＝S2；(3)如图③，在矩形ABCD中，AB＝nBC(n为常数，且n＞0)，点E是AB边上任意一点，点F是BC边上任意一点，若四边形BEDF的面积始终等于矩形面积的，请探究线段AE、BF应满足怎样的数量关系，并说明理由．第2题图(1)解：S；【解法提示】∵AD为△ABC中BC边的中线，∴DC为BC的一半，由图可知△ABC与△ADC同高，又知△ABC的面积为S，∴S△ACD＝S；(2)证明：如解图①，连接BD,当点E、F分别为AB、BC上的中点，第2

5、题解图①由(1)可知S△BED＝S△ABD，S△BDF＝S△BCD，又∵根据平行四边形的性质可知S△ABD＝S△BCD＝S▱ABCD，∴S1＝S△BED＋S△BDF＝S▱ABCD，当点E、F分别在平行四边形ABCD的边AB、BC上时，且满足AE＝AB，BF＝BC，∴BE＝AB，则S△BDE＝S△ABD，S△BFD＝S△BCD，又∵S△ABD＝S△BCD＝S▱ABCD，∴S2＝S△BDE＋S△BFD＝S▱ABCD.综上所述，可证：S1＝S2；(3)解：如解图②，连接BD，第2题解图②由题意可知四边

6、形BEDF的面积始终等于矩形面积的，即根据等面积可知：AB·BC＝2(BE·AD＋BF·AB)，∵AB＝nBC，∴AB·BC＝2(BE·AB＋BF·AB)＝BE·AB＋BF·AB，∴BC＝BE＋BF，∴AB＝BE＋BF，∴AE＝nBF.