2014年暑假培训作业---120中学刘万明.doc

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1、2014年暑假培训作业重庆市第一二0中学刘万明一、原题：已知：△ABC中，∠C=45°，AD⊥BC，垂足为D，E在AD上，DE=DB，连接CE并延长叫AB于F，连接DF，求证：BF+EF=DF.ACBDEFGH二、改编：（本题10分）已知：如图D是线段BC上的点，分别以线段BD、DC为边做正方形BDEN和正方形CDAM连结B、A，延长CE交AB于点F。连结DF。F求证：（1）CF⊥AB（2）BF+EF=DF.BNEDCMAFH第4页共4页三、评分参考答案：证明：（1）∵A正方形BDEN和正方形CDAM∴AD=DC

2、，BD=DE，∠BDA=∠CDE=90°∴Rt△ABD≌Rt△CED（SAS）…………………………..（2分）∴∠BAD=∠DCE，∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠DCE+∠FBD=90°，即：∠BFC=90°，∴CF⊥AB………………………………（4分）（2）连结B、E，连结C、A，过D作DH⊥DF叫CF于H∵CF⊥AB,∴∠BFE=90°,∵∠ADB=90°,∴B、F、E、D四点共圆。∴∠FBE=∠EDF（同弧所对的圆周角相等）同理可证：∠FBE=∠FCA∴∠EDF=∠FCA(等量代换)…………………………

3、………..（6分）∵∠EDF+∠EDH=90°,∠CDH+∠EDH=90°.∴∠EDF=∠CDH(等角的余角相等)可得：∠CDH=∠FCA………………………………………..（7分）∵∠FCA+∠FCD=45°∴∠CDH+∠FCD(等量代换)∴∠DHF=45°(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)∴Rt△FDH是等腰直角三角形。∴FH=DF.……（8分）易证∠DEH=∠AEF=∠ABD,DE=BD,∠BDF=∠EDH∴△BDF≌Rt△EDH（ASA），∴EH=BF∴BF+EF=EH+EF=FH即：BF+E

4、F=DF.……………………………………….（10分）四、编后记：1、这到题的编制灵感来源来源于学校语文老师短信我如下题目：已知：△ABC中，∠C=45°，AD⊥BC，垂足为D，E在AD上，DE=DB，连接CE并延长叫AB于F，连接DF，求证：BF+EF=DF.请帮忙解答一下。 题目截图如下： 2、改编动力我为他作为语文老师思考数学题的行动感到骄傲和自豪。我的学生一般不会的题目就会上网搜解答过程。不懂就跟我讨论。但是，我预感这个题有点意思，因为网络这么发达，这个题可能在网上没有解答。不然，老师不会短信找我。抱着这样

5、的想法一搜，果然找不到这个题目的问题和证明过程。第4页共4页于是我画图如下： 3、思考与追踪我思考： 延长BE交AC与G，过D作DE垂直于DF交CF于H，只要证明三角形DFH是等腰直角三角形，并且证明BF+EF=FH，不就解决了吗？哈哈，想到这里，我预感我成功了。 为了给大家看到我的思考过程，我拟定了8个追寻的结论。相信看了这些结论，证明就是小菜一碟啦。第4页共4页 4、试题的解后记有了这样的思路和我对各个思路的证明，那么书写证明过程应该很容易了吧？这里我用了四点共圆这个结论。当然不用四点共圆也可以解答，只是书写

6、肯能要多一些。我是先从根号2这里发现需要构建等腰直角三角形的。这是我思路的关键点。一些几何的证明题，往往要从题目的暗示出发，执果索因，尝试辅助线，总会有突破口的。5、改编试题考查学生“四基”涵盖范围及试题的生命力。张斌老师的讲座，强调大胆删除梯形，用正方形来考查学生的几何逻辑推理能力。那么，这个原来是三角形的证明题，我就大胆改编成正方形中的问题。这样，本题将正方形、三角形，甚至四点共圆的知识串联起来，一般层次的学生可以通过考查三角形全等来得到4分，第二问，这考查学生辅助线能力以及角度、线段转换能力，有一定的灵活性

7、。本题还通过我的8个追踪结论，可以形成多种有梯度的组合考题。自己感觉这个改编是有意思的。我所附录的评分标准和参考答案也感觉分值也比较合理。数学是思维的体操，欢迎大家各抒己见，共同进步！ 第4页共4页