全国初中数学竞赛试题及答案.doc

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1、.中国教育学会中学数学教案专业委员会2012年全国初中数学竞赛试卷题号一二三总分1～56～1011121314得分评卷人复查人答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答；2．解答书写时不要超过装订线；3．草稿纸不上交.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1（甲）．如果实数，，在数轴上的位置如图所示，那么代数式可以化简为（）．A．B．C．D．1（乙）．如果，那么的值为（）．A．B．C．2D．2（甲）．如果正比

2、例函数与反比例函数的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为，那么另一个交点的坐标为（）．A．B．C．D．2（乙）．在平面直角坐标系中，满足不等式的整数点坐标的个数为（）．A．10B．9C．7D．53（甲）．如果为给定的实数，且，那么这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（）．A．1B．C．D．..3（乙）．如图，四边形中，、是对角线，是等边三角形．，，，则的长为（）．A．B．4C．D．4.54（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的倍”；小玲对小倩说：“你若给我元，我的钱数将是你的2倍”

3、，其中为正整数，则的可能值的个数是（）．A．1B．2C．3D．44（乙）．如果关于的方程是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是（）．A．5B．6C．7D．85（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为，则中最大的是（）．A．B．C．D．5（乙）．黑板上写有共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数，然后删去，并在黑板上写上数，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（）．A．2012B．101C．100D．99二、填空

4、题（共5小题，每小题7分，共35分）6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否”为一次操作.如果操作进行四次才停止，那么的取值范围是.6（乙）.如果，，是正数，且满足，，那么的值为．7（甲）．如图，正方形的边长为2，、分别是、的中点，与、..分别交于点、，则的面积是.7（乙）．如图，的半径为20，是上一点。以为对角线作矩形，且.延长，与分别交于两点，则的值等于．8（甲）．如果关于的方程的两个实数根分别为，，那么的值为．8（乙）．设为整数，且.若能被5整除，则所有的个数为.9（甲）．2位八年级同学和位九年级同学一

5、起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分.比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则的值为.9（乙）．如果正数，，可以是一个三角形的三边长，那么称是三角形数．若和均为三角形数，且，则的取值范围是.10（甲）．如图，四边形内接于，是直径，.分别延长，，交点为.作，并与的延长线交于点.若，，则的长为.10（乙）．已知是偶数，且．若有唯一的正整数对使得成立，则这样的的个数为．..三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11（甲）．已知二次函

6、数，当时，恒有；关于的方程的两个实数根的倒数和小于．求的取值范围．11（乙）．如图，在平面直角坐标系中，，，．与轴交于点，且.已知经过，，三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解读式.12（甲）．如图，的直径为，过点，且与内切于点．为上的点，与交于点，且．点在上，且，BE的延长线与交于点，求证：．12（乙）．如图，的内接四边形中，，是它的对角线，的中点是的内心.求证：（1）是的外接圆的切线；（2）...13（甲）．已知整数，满足：是素数，且是完全平方数.当时，求的最小值.13（乙）．凸边形中最多有多少个内角等于？并说明理由．14（

7、甲）．求所有正整数，使得存在正整数，满足，且...14（乙）．将任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数（可以相同）使得，求的最小值．中国教育学会中学数学教案专业委员会2012年全国初中数学竞赛试卷参考答案一、选择题1（甲）．C解：由实数，，在数轴上的位置可知，且，所以．1（乙）．B解：．2（甲）．D解：由题设知，，，所以.解方程组得所以另一个交点的坐标为.注：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为.2（乙）．B解：由题设，得.因为均为整数，所以有解得..以上共计9对.3（甲）．D解：由题

8、设知，，所以这四个数据的平均数为，中位数为，于是.3（乙）．B解：如图，以为边作等边，连接.由于，，，所以，.又因为，所以.在中，于是，所以.4（甲）