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1、.近代时间序列分析选讲:一.非线性时间序列二.GARCH模型三.多元时间序列四.协整模型..非线性时间序列第一章.非线性时间序列浅释1.从线性到非线性自回归模型2.线性时间序列定义的多样性第二章.非线性时间序列模型1.概述2.非线性自回归模型3.带条件异方差的自回归模型4.两种可逆性5.时间序列与伪随机数第三章.马尔可夫链与AR模型1.马尔可夫链2.AR模型所确定的马尔可夫链3.若干例子第四章.统计建模方法1.概论2.线性性检验3.AR模型参数估计4.AR模型阶数估计第五章.实例和展望1.实例2.展望
2、..第一章.非线性时间序列浅释1.从线性到非线性自回归模型时间序列{xt}是一串随机变量序列,它有广泛的实际背景,特别是在经济与金融领域中尤其显著.关于它们的从线性与非线性概念,可从以下的例子入手作一浅释的说明.考查一阶线性自回归模型---LAR(1):xt=axt-1+et,t=1,2,…(1.1)其中{et}为i.i.d.序列，且Eet=0,Eet=s2<¥,而且et与{xt-1,xt-1,…}独立.反复使用(1.1)式的递推关系,就可得到xt=axt-1+et=et+axt-1=et+a{et-
3、1+axt-2}=et+aet-1+a2xt-2=…=et+aet-1+a2et-2..+…+an-1et-n+1+anxt-n.(1.2)如果当n®¥时,anxt-n®0,(1.3){et+aet-1+a2et-2+…+an-1et-n+1}®åj=0¥ajet-j.(1.4)虽然保证以上的收敛是有条件的,而且要涉及到具体收敛的含义,但是,对以上的简单模型,不难相信,当
4、a
5、<1时,(1.3)(1.4)式成立.于是,当
6、a
7、<1时,模型LAR(1)有平稳解,且可表达为xt=åj=0¥ajet-j.(
8、1.5)通过上面叙述可见求LAR(1)模型的解有简便之优点,此其一.还有第二点,容易推广到LAR(p)模型.为此考查如下的p阶线性自回归模型LAR(p):..xt=a1xt-1+a2xt-2+...+apxt-p+et,t=1,2,…(1.6)其中{et}为i.i.d.序列，且Eet=0,Eet=s2<¥,而且et与{xt-1,xt-1,…}独立.虽然反复使用(1.6)式的递推式,仍然可得到(1.2)式的类似结果,但是,用扩张后的一阶多元AR模型求解时,可显示出与LAR(1)模型求解的神奇的相似.为此
9、记Xt=,U=,A=,(1.7)于是(1.6)式可写成如下的等价形式:..Xt=AXt-1+etU.(1.8)反复使用此式的递推关系,形式上仿照(1.2)式可得Xt=AXt-1+etU=etU+et-1AU+A2xt-2=¼=etU+et-1AU+et-2A2U+…+et-n+1An-1U+Anxt-n.如果矩阵A的谱半径(A的特征值的最大模)l(A),满足如下条件l(A)<1,(1.10)由上式可猜想到(1.8)式有如下的解:Xt=åk=0¥AkUet-k.(1.11)其中向量Xt的第一分量xt形成
10、的序列{xt},就是模型(1.6)式的解.由此不难看出,..它有以下表达方式xt=åk=0¥jket-k.(1.11)其中系数jk由(1.6)式中的a1,a2,...,ap确定,细节从略.不过,(1.11)式给了我们重要启发,即考虑形如xt=åk=0¥yket-k,åk=0¥yk2<¥,(1.12)的时间序列类(其中系数yk能保证(1.12)式中的xt有定义).在文献中,这样的序列{xt}就被称为线性时间序列.虽然以上给出了线性时间序列的定义,以下暂时不讨论什么是非线性时间序列,代之先讨论一阶非线性自
11、回归模型---NLAR(1),以便与LAR(1)模型进行比较分析.首先写出NLAR(1)模型如下xt=j(xt-1)+et,t=1,2,…(1.13)..其中{et}为i.i.d.序列，且Eet=0,Eet=s2<¥,而且et与{xt-1,xt-2,…}独立,这些假定与LAR(1)模型相同,但是,j(xt-1)不再是xt-1的线性函数,代之为非线性函数,比如j(xt-1)=xt-1/{a+bxt-12}.此时虽然仍可反复使用(1.13)式进行迭代,但是所得结果是xt=j(xt-1)+et=et+j(x
12、t-1)=et+j(et-1+j(xt-2))=et+j(et-1+j(et-2+j(xt-3)))=…=et+j(et-1+j(et-2+…+j(xt-n))…).(1.14)根据此式,我们既不能轻易判断j(xt-1)函数满足怎样的条件时,上式会有极限,..也不能猜测其极限有怎样的形式.对于p阶非线性自回归模型xt=j(xt-1,xt-2,…,xt-p)+et,t=1,2,…(1.15)仿照(1.6)至(1.9)式的扩张的方法,我们引入如下记号F(xt
