22 稳定性问题.ppt

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1、稳定性问题在研究许多实际问题时，人们最为关心的也许并非系统与时间有关的变化状态，而是系统最终的发展趋势。例如，在研究某频危种群时，虽然我们也想了解它当前或今后的数量，但我们更为关心的却是它最终是否会绝灭，用什么办法可以拯救这一种群，使之免于绝种等等问题。要解决这类问题，需要用到微分方程或微分方程组的稳定性理论。一般的微分方程或微分方程组可以写成：定义称微分方程或微分方程组为自治系统或动力系统。（1）若方程或方程组f(x)=0有解Xo，X=Xo显然满足（1）。称点Xo为微分方程或微分方程组（1)的平衡点或奇点。例1本

2、章第2节中的Logistic模型共有两个平衡点：N=0和N=K，分别对应微分方程的两两个特殊解。当NoK时，则位于N=K的上方。从图1中不难看出，若No>0，积分曲线在N轴上的投影（称为轨线）将趋于K。这说明，平衡点N=0和N=K有着极大的区别。图1考察两阶微分方程组：（2）称右端代数方程组的实根为方程组的平衡点。近似方程组的稳定性由系数矩阵的特征方程决定，如下表1.捕食系统的Volterra方程问题背景：意大利生物学家D’Ancona曾致力于鱼类种群相互制约关

3、系的研究，在研究过程中他无意中发现了一些第一次世界大战期间地中海沿岸港口捕获的几种鱼类占捕获总量百分比的资料，从这些资料中他发现各种软骨掠肉鱼，如鲨鱼、鳐鱼等我们称之为捕食者（或食肉鱼）的一些不是很理想的鱼类占总渔获量的百分比。在1914~1923年期间，意大利阜姆港收购的鱼中食肉鱼所占的比例有明显的增加：年代19141915191619171918百分比11.921.422.121.236.4年代19191920192119221923百分比27.316.015.914.810.7他知道，捕获的各种鱼的比例近似地

4、反映了地中海里各种鱼类的比例。战争期间捕鱼量大幅下降，但捕获量的下降为什么会导致鲨鱼、鳐鱼等食肉鱼比例的上升？他百思不得其解，无法解释这一现象，就去求教当时著名的意大利数学家V.Volterra，希望他能建立一个数学模型研究这一问题。Volterra将鱼划分为两类。一类为食用鱼（食饵），数量记为x，另一类为食肉鱼（捕食者），数量记为y，并建立双房室系统模型。1、模型建立大海中有食用鱼生存的足够资源，因此可设食用鱼独立生存将按指数律增长（Malthus模型）：但由于捕食者的存在，食用鱼数量因而减少，其减少速率正比于捕

5、食者的数量，即：对于食饵（Prey）系统：反映了捕食者掠取食饵的能力对于捕食者（Predator）系统：而捕食者离开食饵后独立生存存按指数率减少2，即：但食饵提供了食物，使生命得以延续。其增长与食用鱼数量成正比：联立方程得著名的洛特卡—沃尔泰勒（Lotka-Volterra）方程（4）方程组（4）反映了在没有人工捕获的自然环境中食饵与捕食者之间的相互制约关系。下面我们来分析该方程组。2、模型分析方程组（4）是非线性的，不易直接求解。但将两方程相除消去时间t得可分离变量方程：和该方程组共有两个平衡点，即：容易求出其隐

6、式通解从而得不妨设初值由此看出，只要初始值x0，y0不等于零，特解在xoy平面上就描绘出一条不通过原点的闭曲线。当食者较多时，捕食者增多，因而食者必然减少，食者的减少必然导致捕食者随之减少，捕食者的减少又给食者更多的繁衍空间，使得食者增加，食者的增加又为捕食者提供了更多的生存食物，因而捕食者开始增加。两者的数量起伏周而复始的变化，维持着生态平衡。解释D’Ancona发现的现象引入捕捞能力系数ε，（0<ε<1），ε表示单位时间内捕捞起来的鱼占总量的百分比。故Volterra方程应为：平衡点P的位置移动到了：由于捕捞能

7、力系数ε的引入，食用鱼的平均量有了增加，而食肉鱼的平均量却有所下降，ε越大，平衡点的移动也越大。洛特卡—沃尔泰勒模型导出的结果有着广泛的应用前景。例如，当农作物发生病虫害时，不要随随便便地使用杀虫剂，因为杀虫剂在杀死害虫的同时也可能杀死这些害虫的天敌，（害虫与其天敌构成一个双种群捕食系统），这样一来，使用杀虫剂的结果会适得其反，害虫更加猖獗了。（2）捕鱼对食用鱼有利而对食肉鱼不利，多捕鱼能使食用鱼的平均数量增加而使食肉鱼的平均数量减少。根据洛特卡—沃尔泰勒模型，我们可以导出以下结论：（1）食用鱼的数量取决于参数λ和

8、α，食用鱼（食者）繁殖率λ的减小将导致食肉鱼（捕食者）数量的减小，食肉鱼捕食能力α的增大也会使自己的数量减小；反之，食肉鱼死亡率μ的降低或食用鱼对食肉鱼供养效率β的提高都将导致食用鱼数量的减少。