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1、等差数列的概念与通项公式(1)学习目标目标1：理解等差数列的概念.目标2：掌握等差数列的通项公式及推导方法.目标3：掌握等差数列的通项公式的简单应用.复习回顾一、数列的定义，通项公式:按一定次序排成的一列数叫做数列。一般写成a1,a2，a3,…an,…如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。二、数列的简单表示:三、给出数列的方法:两个实例图中表示堆放的钢管，共堆放了7层，自上而下分别有4，5，6，7，8，9，10根钢管，钢管数排成一个数列：45679810写成数列就是：4，5，6
2、，7，8，9，10。①某剧院前排座位号分别是：56，54，52，50，48，46，44，42，40，38。②请同学们思考，这两个数列有何共同特点?从第二项起，后一项与前一项的差是1。从第二项起，后一项与前一项的差是－2.等差数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。公差通常用字母d表示.你能再举出一些等差数列的例子吗？练习一：判断下列数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公差d,如果不是，说明理由。你能求出等差数列（4）的第1
3、00项吗？通项公式的推导设一个等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则始终有：a2－a1=d,a3－a2=d,a4－a3=d,…所以有：a2=a1+d,a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2da4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3dan=a1+(n－1)d当n=1时，上式也成立。问an=?通过观察：a2,a3,a4都可以用a1与d表示出来；a1与d的系数有什么特点？所以等差数列的通项公式是：an=a1+(n－1)d通项公式的另一推导:例1（1）求等差数列8，5，2，…的第20项；（2）判断-401是不是等差数列–5,-9,-
4、13…的项?如果是，是第几项，如果不是，说明理由。分析（1）由给出的等差数列前三项，先找到首项a1,求出公差d,写出通项公式，就可以求出第20项a20.解：(1)由题意得：a1=8,d=5-8=-3,n=20∴这个数列的通项公式是：an=a1+(n-1)d=-3n+11∴a20=11-3×20=-49分析（2）要想判断-401是否为这个数列中的项，关键是要求出通项公式，看是否存在正整数n,使得an=-401。(2)由题意得：a1=-5,d=-9-(-5)=-4∴这个数列的通项公式是：an=-5+(n-1)×(-4)=-4n-1令-401
5、=-4n-1,得n=100∴-401是这个数列的第100项。练习二（1）求等差数列3,7,11…的第4项与第10项；（2）判断100是不是等差数列`2，9，16，…的项？如果是，是第几项，如果不是，说明理由。解：（1）根据题意得：a1=3,d=7-3=11-7=4,∴这个数列的通项公式是：an=a1+(n-1)d=4n-1∴a4=4×4-1=15,a10=4×10-1=39.（2）由题意得：a1=2,d=9-2=16-9=7∴这个数列的通项公式是：an=2+(n-1)×7=7n-5(n≥1)令100=7n-5,得n=15∴-401是这个
6、数列的第15项。例2某滑轮组由直径成等差数列的6个滑轮组成。已知最小和最大的滑轮的直径分别为15cm和25cm，求中间四个滑轮的直径。课本P.35例1：第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次．奥运会如因故不能举行，届数照数．(1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式；（２）2008年北京奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？例3在等差数列{an}中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d.这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组，解之得：解：由题意得：a1+4d=10a1+11d=31a1=
7、-2d=3∴这个数列的首项a1是-2，公差d=3.小结：已知数列中任意两项，可求出首项和公差，主要是联立二元一次方程组。这种题型有简便方法吗？请同学们思考并做以下练习。练习三已知等差数列{an}中，a4=10,a7=19,求a1和d;解之得：a1=1d=3∴这个数列的首项是1，公差是3。解：依题意得：a1+3d=10a1+6d=19思考题：已知等差数列{an}中，am,d是常数，试求出an的值。分析：本题是一个含有字母的计算题，做题时必须将am,d看成是常数.解：设等差数列{an}的首项是a1，依题意可得：am=a1+(m-1)d①an
8、=a1+(n-1)d②②-①得：an-am=a1+(n–1)d-[a1+(m-1)d]=(n-m)d∴an=am+(n-m)d思考练习：已知等差数列{an}中，a3=9,a9=3,求a12,a3n.解法一:
