2020年高考数学二轮提升专题训练考点7 函数与导数的综合运用（2）含答案.doc

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1、考点07函数与导数的综合应用（2）【知识框图】【自主热身，归纳提炼】1、(2016南通、扬州、泰州、淮安三调）已知两曲线f(x)＝cosx，g(x)＝sinx，x∈相交于点A.若两曲线在点A处的切线与x轴分别相交于B，C两点，则线段BC的长为________．【答案】【解析】　由f(x)＝g(x)得cosx＝sinx，即tanx＝，又x∈，所以x＝，故f＝，g＝，即点A坐标为，又f′(x)＝－sinx，g′(x)＝cosx，所以f(x)，g(x)在x＝处的切线的斜率分别为k1＝－，k2＝，从而切线方程分别为y－＝，y－＝，分别令y＝0，则xB＝＋，xC＝－＋，所以BC＝

2、xB－xC

3、＝

4、.2、(2018苏州期末）已知直线y＝a分别与直线y＝2x－2和曲线y＝2ex＋x相交于点A，B，则线段AB长度的最小值为________．【答案】(3＋ln2)　【解析】设点C在直线y＝2x－2上，且BC⊥AB，则BC＝2AB.只要先求BC的最小值．考虑h(x)＝(2ex＋x)－(2x－2)＝2ex－x＋2，则h′(x)＝2ex－1.令h′(x)＝0，得ex＝，即x＝ln＝－ln2，可得h(x)min＝h(－ln2)＝3＋ln2，所以BC的最小值为3＋ln2，从而AB的最小值为(3＋ln2)．3、(2017苏州期末）已知函数f(x)＝若关于x的方程

5、f(x)

6、－ax－5＝0恰有三个不

7、同的实数解，则满足条件的所有实数a的取值集合为________．【答案】　【解析】思路分析化为定曲线与两条动直线共有三个公共点．关键是两条动直线关于x轴对称，其交点在x轴上．方程

8、f(x)

9、－ax－5＝0⇔f(x)＝ax＋5或f(x)＝－ax－5.所以曲线C：y＝f(x)与两条直线l：y＝ax＋5和m：y＝－ax－5共有三个公共点．由曲线的形状可判断直线l与曲线C总有两个交点，所以可有情况是：直线m与曲线C相切，直线m与曲线C相交两点但其中一点是l，m的交点.由m与C相切，得当a＞0时，y＝－ax－5与f(x)图像在x≤0的一侧相切．设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝2x0＝－a

10、，x0＝－.又切线方程为y－y0＝－a(x－x0)，得y＝－ax＋ax0＋y0＝－ax＋a·＋－4＝－ax－－4＝－ax－5，得a＝2.同理当a＜0时，可得a＝－e.由题易知a≠0，从而m与C相切时，a＝2或a＝－e；由点在C上，得当a＞0时，交点位于f(x)图像在x≤0的一侧，此时有f＝－4＝0，a＝；当a＜0时，交点位于f(x)图像在x＞0的一侧，此时有f＝e－－5＝0，a＝－，故由交点在C上得a＝或a＝－.经判断，a的这四个值均满足要求．解后反思先确定a的可能值，再检验，较易操作．也可考虑定曲线y＝

11、f(x)

12、与动直线y＝ax＋b的公共点的问题．4、(2017南京、盐城一模）在平

13、面直角坐标系xOy中，已知点P为函数y＝2lnx的图像与圆M：(x－3)2＋y2＝r2的公共点，且它们在点P处有公切线，若二次函数y＝f(x)的图像经过点O，P，M，则y＝f(x)的最大值为________．【答案】　【解析】思路分析要求f(x)的最大值，关键在于求出f(x)的解析式，根据条件，f(x)已经经过两个已知点O，M，从而其方程可表示为f(x)＝ax(x－3)，为此，只需求出a的值，借助于点P是圆与函数y＝2lnx的公共的切点，以及f(x)过点P，可求得f(x)的解析式．设点P(x0,2lnx0)，则因为y＝2lnx，所以y′＝，故函数y＝2lnx在点P处的切线的斜率为k1＝

14、，又kPM＝，从而圆在点P处的切线的斜率为k2＝－，从而k1＝k2，即＝－，故＝－1.因为函数f(x)过点O(0,0)，M(3,0)，所以设f(x)＝ax(x－3)，又它过点P，所以2lnx0＝ax0(x0－3)，解得a＝＝－，从而得f(x)＝－x(x－3)＝－2＋≤，当x＝时，f(x)max＝.5、(2017苏北四市期末）已知函数f(x)＝若函数f(x)的图像与直线y＝x有三个不同的公共点，则实数a的取值集合为________．【答案】{－20，－16}【解析】当x＜1时，f(x)＝sinx，联立得x－sinx＝0，令u(x)＝x－sinx(x＜1)，则u′(x)＝1－cosx≥0，

15、所以函数u(x)＝x－sinx(x＜1)为单调增函数，且u(0)＝0，所以u(x)＝x－sinx(x＜1)只有唯一的解x＝0，这表明当x＜1时，函数f(x)的图像与直线y＝x只有1个公共点．因为函数f(x)的图像与直线y＝x有3个不同的公共点，从而当x≥1时，函数f(x)的图像与直线y＝x只有2个公共点．当x≥1时，f(x)＝x3－9x2＋25x＋a，联立得a＝－x3＋9x2－24x，令h(x)＝－x3＋9x2－24x(x≥1)，则h′(x)＝