第5章01迭代公式的建立.ppt

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1、第五章线性代数方程组的迭代法5.1迭代公式的建立5.2向量和矩阵的范数5.3迭代过程的收敛性写成矩阵形式Ax=b其中5.1迭代公式的建立设线性代数方程组设线性方程组其中系数矩阵非奇异，且主对角元aii≠0，(i=1,2,…,n)，由第i个方程解出xi，有5.1.1雅可比迭代公式建立迭代格式写成取初值，进行迭代。这种方法称为雅可比(Jacobi)迭代公式。雅可比迭代公式即(i=1,2,…,n)雅可比迭代的算法框图例用雅可比迭代法求解方程组解从3个方程分离出构造雅可比迭代公式迭代计算k012345…x1(k)00.30.

2、800.91800.97160.9894…x2(k)01.51.761.92601.97001.9897…x3(k)02.02.662.86402.95402.9823…5.1.2高斯-塞德尔迭代雅可比迭代收敛时，新值xi(k+1)比老值xi(k)更准确；在雅可比迭代中，算出新值xi(k+1)后，用新值xi(k+1)代替用于后面计算的老值xi(k)，期望这样会收敛得更快些，即为高斯-塞德尔(Gauss-Seidel)迭代。设计思想：高斯-塞德尔迭代公式：高斯-塞德尔迭代公式的特点是：一旦求出变元xi的某个新值xi(k

3、+1)后，就改用新值xi(k+1)代替老值xi(k)进行这一步以后剩下的计算。因此，可将新值存放在老值所占用的单元内，公式可表为下列动态形式：用两次迭代的偏差来控制迭代过程的终止。高斯-塞德尔迭代算法框图例用高斯-塞德尔迭代法求解方程组解方程组化为等价的方程组构造高斯-塞德尔迭代公式迭代计算：1.562.6842.953870.88041.94448高斯-塞德尔迭代公式0.3计算结果:k0123…x1(k)00.30.88040.98428…x2(k)01.561.944481.99224…x3(k)02.684

4、2.953872.99375…小结一般情况下高斯-塞德尔迭代法比雅可比迭代法好；但情况并不总是这样，也有高斯-塞德尔迭代法比雅可比迭代法收敛得慢，甚至有雅可比迭代法收敛而高斯-塞德尔迭代法反而发散的例子。5.1.3超松弛法(SOR—SuccessiveOver-Relaxation)矩阵形式Ax=b其中5.1.4迭代公式的矩阵表示n个未知量n个方程的线性代数方程组令系数矩阵其中D为对角阵，L和U分别为严格下三角阵和严格上三角阵。L+U=A-D雅可比迭代公式分量形式矩阵形式雅可比迭代的矩阵形式雅可比迭代矩阵将L+U=A

5、-D代入写成雅可比迭代的矩阵形式为G为雅可比迭代矩阵。三种迭代格式总结第5章作业Ch52,6,11