第7章 new传递函数矩阵的矩阵分式描述和结构特性-更新中.ppt

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1、第七章传递函数矩阵的矩阵分式描述与结构特性引言传递函数矩阵的矩阵分式描述（MFD,MatrixFractionDescription）是复频域理论中表征线性时不变系统输入输出关系的一种基本模型。本章前半部分将对MFD做较为系统和全面的讨论，主要内容包括MFD的形式、构成、真性、严真性和不可简约性等。本章后半部分讨论传递函数矩阵的结构特性，它是复频域分析和综合的基础。传递函数矩阵的结构特性由极点和零点的分布属性、极点和零点的不平衡属性表示：极点和零点的分布属性：决定系统的稳定性和运动行为；极点和零点的不平衡属性：反映系统的奇异特性和奇异程度。其中，我们需要

2、重点掌握的内容包括Smith-McMillan型、结构指数、极点和零点。本章主要内容矩阵分式描述规范矩阵分式描述埃米特型、波波夫型、史密斯-麦可米伦型MFD传递函数矩阵的极点、零点和结构指数传递函数矩阵的评价值（略）传递函数矩阵的零空间和最小多项式基（略）7.1矩阵分式描述MFD实质上就是把有理分式矩阵形式的传递函数矩阵G(s)表示为两个多项式矩阵之“比”。MFD形式上则是对标量有理分式形式传递函数g(s)相应表示的一种自然推广。1右MFD和左MFD考虑p维输入和q维输出的连续线性时不变系统，其输入输出关系的传递函数矩阵G(s)为q×p有理分式矩阵，其表

3、示形式为严格真有理矩阵：有理矩阵G(s)满足G(∞)=0。真有理矩阵：有理矩阵G(s)满足G(∞)=G0(非零常数)。考察G(s)是否为严格真有理矩阵或真有理矩阵，只要观察G(s)中的元素gij(s)=nij(s)/dij(s)是否有degnij(s)≤degdij(s)。数学上，对q×p有理分式矩阵G(s)，总能因式分解成：右矩阵分式描述：G(s)=Nr(s)Dr-1(s)(6-2)和左矩阵分式描述：G(s)=Dl-1(s)Nl(s)其中右分母矩阵：p×p阶方阵Dr(s)；右分子矩阵：q×p阶矩阵Nr(s)；左分母矩阵：q×q阶方阵Dl(s)；左分子矩

4、阵：q×p阶矩阵Nl(s)。其中dci是G(s)中第i列元素的最小公分母；dri是G(s)中第i行元素的最小公分母。例如，【例7-1】给定2×3传递函数矩阵G(s)为解首先构造G(s)的右MFD。为此，定出G(s)各列的最小公分母如下：dc1(s)=(s+2)(s+3)2，dc2(s)=(s+3)(s+4)，dc3(s)=(s+1)(s+2)进而，构造G(s)的左MFD。为此，定出G(s)各行的最小公分母如下：dr1(s)=(s+2)(s+3)2，dr2(s)=(s+1)(s+3)(s+4)由此可以导出G(s)的右MFD为由此可以导出G(s)的左右MFD

5、为2MFD的特性(1)MFD的实质类似于SISO线性时不变系统的传递函数的分式化表示，MIMO线性时不变系统的传递函数矩阵的MFDG(s)=Nr(s)Dr-1(s)=Dl-1(s)Nl(s)实质上，上式也属于G(s)的分式化表示。因此，称Dr(s)、Dl(s)为G(s)的分母矩阵，Nr(s)、Nl(s)为G(s)的分子矩阵。(2)MFD的次数对传递函数矩阵G(s)的一个右MFD，规定Nr(s)Dr-1(s)的次数=degdetDr(s)(7–4)对传递函数矩阵G(s)的一个左MFD，规定Dl-1(s)Nl(s)的次数=degdetDl(s)(7–5)注：

6、对于同一个G(s)，其右MFD的次数和左MFD的次数一般不相等。(3)MFD的不惟一性对传递函数矩阵G(s)，其右MFD和左MFD不惟一，且不同的MFD可能具有不同的次数。解G(s)的两个MFD为【例7-2】给定2×2传递函数矩阵G(s)为并且可求出degdetD1r(s)=6，degdetD2r(s)=5。两右MFD的次数是不等的。对于传递函数矩阵G(s)的MFD，无论是右MFD还是左MFD，表征其结构特征的两个基本特性为真性（严真性）和不可简约性。3真性(严真性)有理矩阵定理定理7-1设G(s)是r×m阶真性(严真性)有理矩阵，G(s)=Nr(s)D

7、r-1(s)=Dl-1(s)Nl(s)，则【例7-3】真有理矩阵G(s)=Nr(s)Dr-1(s)，其多项式矩阵Nr(s)、Dr(s)如下从两个多项式矩阵可知，δc1Nr(s)=2≤δc1Dr(s)=2δc2Nr(s)=2<δc2Dr(s)=3注意：上述定理的逆命题并不成立，下面是一个说明这个问题的实例。【例7-4】矩阵G(s)=Nr(s)Dr-1(s)，多项式矩阵Nr(s)、Dr(s)如下解由两个多项式矩阵可知，δcjNr(s)<δcjDr(s)，j=1,2但是，G(s)=Nr(s)Dr-1(s)=[-2s–12s2-s+1]却是多项式矩阵，既不是真有

8、理矩阵，更不是严格真有理矩阵。定理7-2设Nr(s)和Dr(s)是r×m和m×m