第2节 空间几何体的表面积和体积.ppt

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1、了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）.1.棱柱、棱锥、棱台的表面积柱体、锥体、台体的侧面积，就是各侧面面积之和，表面积是各个面的面积的和，即侧面积与底面积之和.2.旋转体的表面积3.几何体的体积公式[思考探究]如何求不规则几何体的体积？提示：对于求一些不规则几何体的体积常用割补的方法，转化成已知体积公式的几何体进行解决.1.已知某球的体积大小等于其表面积大小，则此球的半径是()A.B.3C.4D.5解析：设球半径为R，则πR3＝4πR2，∴R＝3.答案：B2.圆柱的一个底面

2、积是S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是()A.4πSB.2πSC.πSD.πS解析：底面半径是，所以正方形的边长是2π＝2，故圆柱的侧面积是(2)2＝4πS.答案：A3.将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD＝a，则三棱锥D－ABC的体积为()A.B.C.a3D.a3解析：设正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，沿AC折起后依题意得，当BD＝a时，BE⊥DE，所以DE⊥平面ABC，于是三棱锥D－ABC的高为DE＝a，所以三棱锥D－ABC的体积V＝答案：D4.若棱长为3

3、的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为.解析：正方体的体对角线为球的直径.答案：27π5.已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是.解析：此几何体为一圆锥与圆柱的组合体.圆柱底面半径为r＝a，高为h1＝2a，圆锥底面半径为r＝a，高为h2＝a.故组合体体积为V＝πr2h1＋πr2h2＝2πa3＋πa3＝.答案：求解有关棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积的关键是利用几何图形的性质找到其几何图形特征，从而体现出高、斜高、边长等几何元素间的关系，如棱柱中的矩形、棱锥中的直角三角形、棱台中的直

4、角梯形等.(2009·宁夏、海南高考)一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积(单位：cm2)为()A.48＋12B.48＋24C.36＋12D.36＋24[思路点拨][课堂笔记]如图所示三棱锥.AO⊥底面BCD，O点为BD的中点，BC＝CD＝6(cm)，BC⊥CD，AO＝4(cm)，AB＝AD.S△BCD＝6×6×＝18(cm2)，S△ABD＝×6×4＝12(cm2).取BC中点为E.连结AE、OE.可得AO⊥OE，AE＝＝＝5(cm)，∴S△ABC＝S△ACD＝×6×5＝15(cm2)，∴S表＝18

5、＋12＋15＋15＝(48＋12)(cm2).[答案]A1.柱体、锥体、台体的体积公式之间有如下关系，用图表示如下：2.求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公式V＝Sh进行计算即可.常用方法为：割补法和等体积变换法：(1)割补法：求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱体、锥体，分别求出锥体和柱体的体积，从而得出几何体的体积.(2)等体积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面.①求体积时，可选择容易计算的方式来计算；②利用“等积性”可求“点到面的距离”.(2009·辽宁高考)正六

6、棱锥P－ABCDEF中，G为PB的中点.则三棱锥D－GAC与三棱锥P－GAC体积之比为()A.1∶1B.1∶2C.2∶1D.3∶2[思路点拨][课堂笔记]∵G为PB中点，∴VP－GAC＝VP－ABC－VG－ABC＝2VG－ABC－VG－ABC＝VG－ABC.又多边形ABCDEF是正六边形，∴S△ABC＝S△ACD，∴VD－GAC＝VG－ACD＝2VG－ABC，∴VD－GAC∶VP－GAC＝2∶1.[答案]C1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各

7、线段与原几何体的关系是掌握它们的面积公式及解决相关问题的关键.2.计算柱体、锥体、台体的体积关键是根据条件找出相应的底面积和高，要充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题.如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积(其中∠BAC＝30°).[思路点拨][课堂笔记]如图所示，过C作CO1⊥AB于O1，在半圆中可得∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2R，∴AC＝R，BC＝R，CO1＝R，∴S球＝4πR2，＝π×R×R＝

8、πR2，＝π×R×R＝πR2，∴S几何体表＝S球＋＋＝4πR2＋πR2＋πR2＝πR2.∴旋转所得几何体的表面积为πR2.能否求出该几何体的体积？＝πR3－πO1C2(AO1＋BO1)＝πR3－π×(R)2·2R＝πR3－πR3＝πR3.解：V几何体＝V球－＝πR3－πO1C2·AO1－πO1C2·BO1几何体的折叠与展开问题是立体几何的重要内容之一，解决折叠与展开问题的关键是弄清折叠与展开前后位置关系和数量关系的变化情况，从而画出准确的图形解决问题.2