《一 比较法》课件3.ppt

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1、第二讲证明不等式的基本方法2.1比较法1．了解用作差比较法证明不等式．2．了解用作商比较法证明不等式．3．提高综合应用知识解决问题的能力．要比较两个实数的大小，只要考查它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：a＞b⇔a－b________0a＝b⇔a－b________0a＜b⇔a－b________0思考1比较两个代数式值的大小：x2与x2－x＋1.＞＝＜解析：当x＝1时，x2＝x2－x＋1；当x＞1时，x2＞x2－x＋1；当x＜1时，x2＜x2－x＋1.思考2比较两个代数式值的大小：x2＋x＋1与(x＋1)2.解析：当x＝0时，x2＋x＋1＝(x＋1)2；当x＞0时，x2

2、＋x＋1＜(x＋1)2；当x＜0时，x2＋x＋1＞(x＋1)2.题型一作差比较法证明不等式例1已知a＜b＜c，求证：a2b＋b2c＋c2a＜ab2＋bc2＋ca2.证明：因为a＜b＜c，所以a－b＜0，b－c＜0，a－c＜0，所以(a2b＋b2c＋c2a)－(ab2＋bc2＋ca2)＝(a2b－ca2)＋(b2c－bc2)＋(ac2－ab2)＝(b－c)[a2－a(b＋c)＋bc]＝(b－c)(a－b)(a－c)＜0，所以a2b＋b2c＋c2a＜ab2＋bc2＋ca2.变式训练1．已知a，b∈R＋，求证：(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1)(n∈N*)．证明：(

3、a＋b)(an＋bn)－2(an＋1＋bn＋1)＝an＋1＋abn＋anb＋bn＋1－2an＋1－2bn＋1＝an(b－a)＋bn(a－b)＝(a－b)(bn－an)，又∵a，b∈R＋，n∈N*，∴当a≥b时，a－b≥0，bn－an≤0，∴(a－b)(bn－an)≤0，∴(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1)．当a＜b时，a－b＜0，bn－an＞0，∴(a－b)(bn－an)＜0，∴(a＋b)(an＋bn)＜2(an＋1＋bn＋1)．∴(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1)(n∈N*)．题型二作商比较法证明不等式变式训练