《一 比较法》课件3.ppt

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1、第二讲证明不等式的基本方法2.1比较法1.了解用作差比较法证明不等式.2.了解用作商比较法证明不等式.3.提高综合应用知识解决问题的能力.要比较两个实数的大小,只要考查它们的差的符号即可,即利用不等式的性质:a>b⇔a-b________0a=b⇔a-b________0a<b⇔a-b________0思考1比较两个代数式值的大小:x2与x2-x+1.>=<解析:当x=1时,x2=x2-x+1;当x>1时,x2>x2-x+1;当x<1时,x2<x2-x+1.思考2比较两个代数式值的大小:x2+x+1与(x+1)2.解析:当x=0时,x2+x+1=(x+1)2;当x>0时,x2

2、+x+1<(x+1)2;当x<0时,x2+x+1>(x+1)2.题型一作差比较法证明不等式例1已知a<b<c,求证:a2b+b2c+c2a<ab2+bc2+ca2.证明:因为a<b<c,所以a-b<0,b-c<0,a-c<0,所以(a2b+b2c+c2a)-(ab2+bc2+ca2)=(a2b-ca2)+(b2c-bc2)+(ac2-ab2)=(b-c)[a2-a(b+c)+bc]=(b-c)(a-b)(a-c)<0,所以a2b+b2c+c2a<ab2+bc2+ca2.变式训练1.已知a,b∈R+,求证:(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+1)(n∈N*).证明:(

3、a+b)(an+bn)-2(an+1+bn+1)=an+1+abn+anb+bn+1-2an+1-2bn+1=an(b-a)+bn(a-b)=(a-b)(bn-an),又∵a,b∈R+,n∈N*,∴当a≥b时,a-b≥0,bn-an≤0,∴(a-b)(bn-an)≤0,∴(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+1).当a<b时,a-b<0,bn-an>0,∴(a-b)(bn-an)<0,∴(a+b)(an+bn)<2(an+1+bn+1).∴(a+b)(an+bn)≤2(an+1+bn+1)(n∈N*).题型二作商比较法证明不等式变式训练

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