《一次同余方程》课件.ppt

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1、一次同余方程二、一次同余方程组和孙子定理一、‘‘物不知其数’’问题及其解法一、‘‘物不知其数’’问题及其解法大约在公元4世纪，我国南北朝时期有一部著名的算术著作《孙子算经》，其中就有这样一个‘‘物不知其数’’问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？答曰：二十三”。明朝程大位编著的《算法统宗》里记载了此题的解法，他是用一首歌谣叙述出来的：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。解答算式是：70×2＋21×3＋15×2＝233，233－105×2＝23.上面解法的步骤及理由是：（1）先在5与7的公倍数中找除以3余1的数，进

2、而找到除以3余2的数。∵[5，7]=35，35÷3=11（余2），（35×2）÷3=23（余1），而（70×2）÷3=46（余2），∴140符合条件。（2）在3与7的公倍数中找除以5余3的数。∵[3，7]=21，21÷5=4（余1），（21×3）÷5=12（余3），∴63就是符合条件的数。（3）在3与5的公倍数中找除以7余2的数。∵[3，5]=15，15÷7=2（余1），（15×2）÷7=4（余2），∴30就是符合条件的数。（4）将上面得到的分别符合三个条件的三个数相加:70×2+21×3+15×2=233。∵70（或140）是5和7的倍数，而3除余1（或余2）的数。21（或63

3、）是3和7的倍数，而5除余1（或余3）的数。15（或30）是3和5的倍数，而7除余1（或余2）的数。∴233是满足除以3余2、除以5余3和除以7余2的数。又∵[3,5,7]=105，233-2×105=23也是它的解，而且23＜105。∴23是满足该题的最小解，它的所有解为X=105k+23(k=0,1,2,…)。注释：‘‘物不知其数’’问题及其解答，是我国古代研究一次同余方程组并取得辉煌成果的经典例证。上面的解法中，总是先求出余1的数，再求出余几的数，这种解法逐渐被总结为简洁实用的‘‘求一术’’。‘‘物不知其数’’又名‘‘秦王暗点兵’’。二、一次同余方程组,一次同余方程组其

4、解为必定有解，定理１：设是两两互素的正整数,那么对于任意整数，，，。，这里谢谢观看