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时间:2020-02-27
《2020届高考数学专题三含导函数的抽象函数的构造精准培优专练文.docx》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、培优点三含导函数的抽象函数的构造一、含导函数的抽象函数的构造例1:已知定义在上的可导函数的导函数为,满足,且为偶函数,,则不等式的解集为________.【答案】【解析】设,则.∵,∴,所以函数是上的减函数,∵函数是偶函数,∴函数,∴函数关于对称,∴,原不等式等价为,∴不等式等价,.∵在上单调递减,∴.故答案为.例2:已知,曲线在处的切线方程为.(1)求,的值;(2)求在上的最大值;(3)证明:当时,.【答案】(1),;(2);(3)证明见解析.【解析】(1),由题设得,,解得,.(2)由(1)知,∴,,∴在上单调递减,在上单调递增,所以,所以在上单调递增,所
2、以.(3)因为,又由(2)知,过点,且在处的切线方程为,故可猜测:当,时,的图象恒在切线的上方.下证:当时,,设,,则,,由(2)知,在上单调递减,在上单调递增,又,,,∴,所以,存在,使得,所以,当时,;当时,,故在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,又,∴,当且仅当时取等号,故,.由(2)知,,即,所以,即成立,当时,等号成立.对点增分集训一、选择题1.设函数在定义域内可导,的图像如图所示,则导函数的图像可能为()A.B.C.D.【答案】D【解析】由函数的图象可知,当时,单调递减,所以时,,符合条件的只有D选项,故选D.2.曲线在点处的切线与轴交点的纵
3、坐标是()A.B.C.D.【答案】C【解析】∵,∴,则,∴曲线在点处的切线方程为,令,解得.∴曲线在点处的切线与轴交点的纵坐标是,故选C.3.已知函数的导函数为,且满足,则()A.B.C.D.【答案】D【解析】依题意,令,得,,所以,所以,故选D.4.曲线在点处的切线方程是()A.B.C.D.【答案】C【解析】求导,则曲线,在点处的切线的斜率,由点斜式可得,即切线方程为,故选C.5.函数的极小值点是()A.B.C.D.【答案】A【解析】,由,得或.函数在上为增函数,上为减函数,上为增函数,故在处有极小值,极小值点为.故选A.6.函数在处有极值,则的值为()A.
4、B.C.D.【答案】C【解析】由题意得:,∵在处有极值,∴,解得.经检验满足题意,本题正确选项C.7.若函数,则函数的单调递减区间为()A.B.C.D.【答案】C【解析】函数的定义域为,因为,令并且,得,所以函数的单调递减区间为.故本题正确答案为C.8.己知,为导数,则()A.B.C.D.【答案】A【解析】∵,∴,∴,故本题选A.9.函数的导数为()A.B.C.D.【答案】A【解析】∵,∴,故选A.10.已知函数在点处的切线经过原点,则实数()A.B.C.D.【答案】D【解析】函数,,∴,切线方程为,故,解.故选D.11.设函数,则()A.为的极大值点B.为的
5、极小值点C.为的极大值点D.为的极小值点【答案】D【解析】函数,则函数,令,解得,当,解得,∴函数在单调递增;由,解得,∴函数在上单调递减.∴函数在取得极小值,故选D.12.若在区间上单调递减,则的取值范围为()A.B.C.D.【答案】A【解析】令,则,配方得,故对称轴为,如图所示:由图象可知,当对称轴时,在区间上单调递减,又真数,二次函数在上单调递减,故只需当时,若,则时,真数,代入,解得,所以的取值范围是.故选A.二、填空题13.已知,则_____.【答案】【解析】,令,则,故.故填.14.曲线在点处的切线方程为_______.【答案】【解析】因为,所以,
6、又切点为,所以在点处的切线方程为.15.如图,函数的图象在点处的切线方程是,则______.【答案】【解析】由题意可知,,故.三、解答题16.已知函数.(1)求函数在点处的切线方程;(2)若,求的最大值.【答案】(1);(2).【解析】(1)因为,所以,因为,所以,切线方程为,即.(2)令,得或,由,所以,因为,,,所以的最大值为.17.已知函数在上是奇函数,且在处取得极小值.(1)求的解析式;(2)求过点且与曲线相切的切线方程.【答案】(1);(2).【解析】(1)∵是定义在上的奇函数,∴,∴,则,∴,解得.∴.(2)设切点坐标为,则在处切线斜率,又,∴,解
7、得,∴,∴过的切线方程为,即.18.设函数在时取得极值.(1)求的值;(2)求函数的单调区间.【答案】(1);(2)的单调递增区间为,;单调递减区间为.【解析】(1),当时取得极值,则,即,解得,经检验,符合题意.(2)由(1)得:,∴,令,解得或;令,解得,∴的单调递增区间为,;单调递减区间为.19.已知函数,且曲线在点处的切线与直线垂直.(1)求函数的单调区间;(2)求的解集.【答案】(1)在为增函数;(2).【解析】(1)∵,∴,∵曲线在点处的切线与直线垂直.∴,∴,令,当时,为增函数;当时,为减函数,所以,所以,所以在为增函数.(2),令,因为在为增函
8、数,所以在为增函数,因为,所以不等式的
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