2、则:交换律结合律其他矩阵相等若则称矩阵与相等,记作(2)数乘数则运算法则:数对矩阵的分配律矩阵对数的分配律结合律其他例1设且求矩阵.(3)乘法则其中两个矩阵相乘可以直观地表示如下:运算法则:分配律结合律数乘结合律其他例2设矩阵求AB和BA注意:以下结论一般情况下不成立或由此可见,矩阵的乘法有别于数的乘法,许多因式分解公式都可能不成立.比如:且(4)方阵的幂为自然数则规定运算法则:注意:一般来说如果则称为幂等矩阵.如果(自然数)则称为幂零矩阵.(5)转置称为A的转置矩阵.运算法则:对称矩阵:反对称矩阵:注:对称矩阵的元素关于其主对角线
3、对称.反对称矩阵的主对角线元素都为零.性质:为对称矩阵.为反对称矩阵.如果是同阶对称(或反对称)矩阵,是常数,则,一定是对称(或反对称)矩阵,但不一定是对称(或反对称)矩阵.例3设、是对称矩阵，则（或）也是对称矩阵的充分必要条件.(6)方阵的行列式称为的行列式,又记det运算法则:二、逆矩阵(sect.5)1.定义设 是一个n阶方阵， 是一个n阶单位阵，如果存在一个n阶方阵 ，使得则称可逆，又称 为非奇异矩阵,并称 为 的逆矩阵.否则称不可逆，又称 为奇异矩阵．2.性质(1)若方阵 可逆,则的逆矩阵唯一;记为.(2)若方阵 可逆，则
4、 也可逆，且(3)若方阵 可逆,且数,则 也可逆,且(4)若方阵 可逆，则 也可逆，且(5)若方阵 可逆，则 也可逆，且(7)若方阵 可逆，则(6)若两个同阶方阵 可逆，则 也可逆,且3.伴随矩阵称为矩阵的伴随矩阵.其中为中元素的代数余子式.重要恒等式:设性质:4.伴随矩阵求逆法定理方阵可逆的充分必要条件是.推论n阶方阵和,如果,则和都可逆,且,.如果可逆,则例5求矩阵的逆矩阵.例4n阶方阵满足,试证可逆.由上述重要恒等式和定理可得求逆公式:三、矩阵的初等变换(sect.6)1.初等变换和初等矩阵初等变换：(1)互换矩阵的某两行
5、(列)；(2)用数 乘矩阵的某一行(列)；(3)把矩阵的某一行(列)元素的 倍加到另一行(列)的对应元素上去；记作记作记作初等矩阵:由单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵，称为初等矩阵．(1)第i行第j行第i列 第j列(2)第i行第i列(3)第j行第i行第i列 第j列初等矩阵可逆，且它们的逆矩阵还是初等矩阵：初等矩阵的转置仍是同类初等矩阵:2.矩阵的等价定义若矩阵 经过有限次初等变换化为矩阵 ，则称矩阵 与等价，记作性质(1)反身性：；(2)对称性：若 ，则；(3)传递性：若 ， 则.定理若对 作一次初等行(列
6、)变换，则相当于对 左(右)乘一个相应的m(n)阶初等矩阵．定理任意一个阶非零矩阵都可经初等变换化为下列形式的矩阵（强调要用列变换）称其为矩阵的标准形矩阵.即任意一个非零矩阵与它的标准形矩阵是等价的.例6化矩阵为标准形.3.初等变换求逆法理论：(1)n阶方阵 可逆(2)n阶方阵 可逆 可以表示成若干个初等矩阵的乘积．即(3)存在两个可逆矩阵 ，使得初等行变换例7设求其逆矩阵.方法：先构造一个 矩阵 ，然后对其进行初等行变换，当左侧矩阵 成为单位矩阵时，右侧矩阵 则成为 ．即4.矩阵方程其中,,为系数矩阵或常数矩阵,为未知
7、矩阵.例8设解矩阵方程四、分块矩阵(sect.4)1.矩阵分块在矩阵 的行间和列间分别用一些水平线和铅直线将它分割成若干个小矩阵 ，每一个小矩阵 称为 的子块或子矩阵，这种以子块或子矩阵 为元素的矩阵称为分块矩阵．记作2.运算只要对矩阵按适当的方式分块,那么在对分块矩阵进行运算时,就可以将子块当作一般矩阵中的元素来看待,并按一般矩阵的运算规则进行,然后子块之间的运算再按一般矩阵的运算规则进行.例9矩阵求例10设矩阵,,若将矩阵按列分块为求3.分块矩阵求逆法(1)其中,可逆(2)其中,可逆则则则则(3)其中,可逆(4)例
8、11求例12设求
