西安交通大学电介质物理姚熹、张良莹课后习题答案第一章.doc

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1、第一章静电场中的电介质1-1半径为a的球带电量为q，电荷密度正比于距球心的居里。求空间的电位和电场分布。解：由题意可知，可设再由于，代入可以求出常数即所以当时由高斯定理可知；当时由高斯定理可知1-2电量为q的8个点电荷分别位于边长为a的立方体的各顶角。求其对以下各点的电距：（1）立方体中心；（2）某一面的中心；（3）某一顶角；（4）某一棱的中点。若8个点电荷中4个为正电荷、4个为负电荷，重新计算上述问题解：由电矩的定义（一）八个电荷均为正电荷的情形（1）立方体的在中心：八个顶点相对于立方体中心的矢量和为，故（2）某一面心：该面的四个顶点到此面心的矢量和，对面的四个

2、顶点到此点的矢量和故；（3）某一顶角：其余的七个顶点到此顶点的矢量和为：故；（4）某一棱的中心；八个顶点到此点的矢量和为故；（二）八个电荷中有四个正电荷和四个负电荷的情形与此类似；1-3设正、负电荷q分别位于（0，0，/2）、（0，0，－/2），如图所示。求场点P处电势计算的近似表达式，试计算在场点（0，0，），（0，0，）处电势的近似值，并与实际值比较解：P点的电势可以表示为：==其中,取场点分别为P1(0,0,)P2(0,0,)则对于P1点来说,=对于P2来说==多极展开项去前两项=其中=1，把P1(r=)点和P2(r=)点代入上式可得==比较可得P1点，实际

3、值近似值P2点，实际值近似值1-4分别绘出电偶极子、电四极子和电八极子的图形，并给出其相应的电偶极子强度，电四极子强度，电八极子强度。解：参考课本P21图1-10偶极子强度;四极子强度;八极子强度1-5试证明位于（0，0，）的点偶极子（方向沿Z轴）在场点的的展开式为=解：点电荷的多极展开式为=[+......]对于正电荷+q来说=/2=[+......]对于负电荷-q来说=/2=[+......]=+......]=+......]=+...]=证毕1-6（1）试证明电偶极子（＝）在电场E中的转矩势能分别为：；=-（2）指出偶极子在电场中的平衡位置、稳态平衡位置。

4、（3）当和E的夹角从变到时，求电场力所做的功和偶极子的势能变化。解（1）转矩==2q=q=势能W=-q=-q=-（2）M=0,=0,平衡位置=0,W=-E能量最低，稳态平衡=,W=E能量最大，不稳定（3）电场力做功，是减少因此d为负A=势能变化△W=W2-W1=因此：保守力做功等于势能增量的负值A=-△W1-7两个电偶极子、相距，讨论两偶极子间的相互作用能。解：先假定两个偶极子均与R成角，其他情形与此类似W=-=▽偶极子在处的电势为=▽=W=▽====1-7什么是电介质的极化？介质极化是由哪些因素决定的？答案略1-8什么叫退极化场？试用极化强度P来表示一个介电常数

5、的为的平板介质电容器的退极化场，宏观平均电场和极板上的重点电荷电场。解：极化电荷形成的电场来削弱自由电荷建立的电场为退极化电场=-=1-9在均匀电场中放一个半径为a的导体球，求球的感应电荷在远场处的电势及球内的电势、电场。由此证明导体球的引入，对于远场来言相当于引入了一个电偶极子。并求出导体球的极化率。解：导体球外▽2=0r>a边界条件为：（1）由于导体球为一个等势体因此r=a=（2）=有A1=-E0An=0(n)代入边界条件可知：B0=aBn0(n)-E0a+B1/a=0因此B1=所以如果导体球接地则从而有所以极化电荷产生的电势，电场为=-▽P导体球的偶极矩为：

6、导体球的极化率为：1-11试证明在电场中引入一偶极矩为的分子，则该分子具有的极化势能为，其中为分子的极化率。解：假定分子固有偶极矩沿分子长轴取向分子在电场感生偶极矩的长轴和短轴方向上的分量分别为其中==（）=（△）分子的势能为固有偶极矩势能（-）和感生偶极矩（-）之和1-12H2O分子可以看成是半径为R的离子与两个质子（）组成，如图所示，其中，间夹角为2，试证明分子偶极矩值为=解：分子的固有偶极矩为：由于O2-受到H++H+的作用，使之发生位移极化,使O2-的正负电荷中心发生位移为x原子核的库仑吸引力=-2H+产生的电场力为：由于=F所以此时的分子偶极矩为：=感生

7、偶极矩为由于，所以总的偶极矩为=+1-13在无限大电介质（）中有均匀电场，若在该介质中有一半径为a、介电常数为介质球，求球内外的电势、电场及介质球内电偶极矩。讨论介质球带来的影响，并将结果推广到：（1）＝1（2）＝1解：由题意可解得：-▽-▽=（1）当时；空腔球（2）当时；1-12（1）求沿轴向均匀极化的介质棒中点的退极化场，已知细棒的截面积为，长度为，极化强度为P，如图（a）所示。（2）一无限大的电介质平板，其极化强度为P，方向垂直于平板面。求板中点O处的退极化场。已知板厚为d，如图（b）所示。（3）求均匀极化的电介质球在球心的产生的退极化场。已知球半径为r，极

8、化强度为P