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1、思维及数学思维哲学:思维是物质的产物---人脑的机能,是社会的产物,是客观事物的反映,是人类认识的理性阶段.普通心理学:意识是心理学理论中的根本问题,思维是人的意识活动的产物,它是人脑对客观物质世界的能动反映,它和语言一起成为意识的核心.思维发展心理学:思维是人脑对客观事物的本质和事物内在规律性关系的概括和间接的反映.现代神经生理学:大脑二个半球基本上是以不同的方式进行思维,左脑负责语言和逻辑思维,右脑形象思维.现代认知心理学:思维是一个通过感知记忆的信息进行提取、整合、分解、比较、选择等一系列的加工改造而得出新信息的过程.
2、思维的分类1.按思维抽象性分类:直观行动思维、具体形象思维、抽象逻辑思维.直观行动思维(感知运动思维或动作思维):具体形象思维:以具体表象为材料的思维.抽象逻辑思维:以概念为材料的思维,主要以概念、判断和推理的形式表现出来.又分为形式逻辑思维和辩证逻辑思维.2.按思维结果划分:再现性思维----运用原有的知识经验,按现成的方法去解决类似的问题的思维.创造性思维----进行创造性活动时的思维,如科学发现、发明、技术革新、艺术创造等.按思维的结果分类:聚合思维----从已知信息中产生逻辑结论,从现成资料中寻求正确答案的一种有方向
3、、有范围、有条理的思维方式.又称为收敛思维、集中思维、求同思维、辐合思维.发散思维----从已知信息中产生大量的、独特的新信息的一种沿不同方向、在不同范围、不因循传统的思维方式.又称为求异思维、辐射思维.按主体意识分类直觉思维----是指人脑基于有限的数据和事实,调动一切已有的知识经验，对客观事物的本质及其规律性联系进行迅速的识别、敏锐的观察、直接的理解和整体的判断的思维过程.分析思维----是指遵循严密的逻辑规则,通过逐步推理得到符合逻辑的正确答案或结论的思维方法.又称为逻辑思维.数学思维及其思维方法数学物象----现实世
4、界的空间形式和数量关系以及反映出来的结构和模型.数学思维----以数学物象为思维对象,以数学语言符号为思维载体,并以认识和揭示数学规律为目的的一种思维.数学思维过程中,受到的刺激有二类:一类是数学概念的刺激另一类是图形或图式的刺激当处于概念时的思维称为数学逻辑思维;当处于图形(式)时的思维称为数学形象思维。数学思维的品质:思维的广阔性思维的深刻性思维的灵活性思维的独创性思维的批判性数学思维的品质:1.思维的广阔性表现为思路开阔,善于从不同角度、不同层次对问题进行全面的观察和思考.例1求证:Cn1+2Cn2+……+nCnn=n
5、·2n－1证法一:设Sn=Cn1+2Cn2+……+nCnn则Sn=nCnn+……+2Cn2+Cn1,于是Sn=n(Cn1+Cn2+……+Cnn)=n·2n故结论成立.证法二:注意到KCnK=nCn-1K-1,所以有Cn1+2Cn2+……+nCnn=nCn-10+nCn-11+……+nCn-1n-1,=n(Cn-10+Cn-11+……+Cn-1n-1)=n·2n-1证法三:用数学归纳法证明.证法四:因为(1+x)n=Cn1+Cn2x+……+Cnnxn,所以对两边取导数,得n(1+x)n-1=Cn1+2Cn2x+……+nCnnx
6、n-1,取x=1即可.2.思维的深刻性思维的深刻性即思维的深度,它反映着分辨事物本质的能力.表现为:善于洞察数学对象的本质属性及其相互关系;善于从所研究的材料中揭示隐藏的特殊情况，发现有价值的东西;能辩证地思考.例求函数y=1－6sinx－2cos2x的最大(小)值.误解:因为－1≤sinx≤1,且0≤cos2x≤1,所以－6≤－6sinx≤6且－2≤－2cos2x≤0,所以－7≤1－6sinx－2cos2x≤7,所以最大值为7,最小值为－7.3.思维的灵活性思维的灵活性是指思维的灵活程度,主要表现为善于摆脱已有模式的束缚,
7、及时由一条思路转向另一条思路。思维灵活的人善于从错误思路中退出来并及时转向,关于联想,关于类比,关于逆向思考,如逆用定义、公式，善于将问题简约化归等.例已知x,y,z为三个互不相等的实数，并且x＋1/y=y＋1/z=z＋1/x，求证:x2y2z2=1思路1:解方程组求出x，y，z，但注意到，三个未知数，只有两个独立方程,方程的解不唯一,此路不通.例已知x,y,z为三个互不相等的实数，并且x＋1/y=y＋1/z=z＋1/x，求证:x2y2z2=1思路2:由x＋1/y=y＋1/z得xyz=y2z＋y－z,由y＋1/z=z＋1/x
8、得xyz=z2x＋z－x，于是x2y2z2=(y2z＋y－z)(z2x＋z－x)，但化简不出1.放弃.例已知x,y,z为三个互不相等的实数，并且x＋1/y=y＋1/z=z＋1/x，求证:x2y2z2=1思路3:据处理比例的经验，设x＋1/y=y＋1/z=z＋1/x=k，则xy=ky－1，y
