《数学竞赛训练题》word版.doc

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1、1.竞赛讲座13平面三角2.竞赛讲座14染色问题与染色方法3.竞赛讲座15函数方程4.竞赛讲座16不等式5.竞赛讲座17数学归纳法6.竞赛讲座18类比、归纳、猜想7.竞赛讲座19排列组合、二项式定理竞赛讲座13－平面三角三角函数与反三角函数，是五种基本初等函数中的两种，在现代科学的很多领域中有着广泛的应用．同时它也是高考、数学竞赛中的必考内容之一．一、三角函数的性质及应用　三角函数的性质大体包括：定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最值等．这里以单调性为最难．它们在平面几何、立体几何、解析几何、复数等分支中均有广泛的应用．【例1】　求函数y=2sin(-2x)的单调增

2、区间。解：y=2sin(-2x)=2sin(2x+)。由2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ-≤x≤kπ-，k∈Z。即原函数的单调增区间为：[kπ-，kπ-]（k∈Z）。【例2】　若φ∈（0，），比较sin(cosφ)，cos(sinφ)，cosφ这三者之间的大小。解：∵在（0，）中，sinx

3、。∵x,-2y∈[-，]，函数f(t)=t3+sint在[-，]上单调递增，且f(x)=f(-2y)∴x=2y，∴cos(x+2y)=1。【例4】　求证：在区间（0，）内存在唯一的两个数c、d(c＜d)，使得sin（cosc）＝c，cos（sind）＝d．证明：考虑函数f（x）＝cos（sinx）－x，在区间[0，]内是单调递减的，并且连续，由于f（0）＝cos（sin0）－0=1>0，f（）＝cos（sin）－=cos1－<0，∴存在唯一的d∈（0，），使f（d）＝0，即cos（sind）＝d．对上式两边取正弦，并令c=sind，有sin（cos（sind））=sin

4、d，sin（cosc）=c。显然c∈（0，）。且由y=sinx在（0，）上的单调性和d的唯一性，知c也唯一。故存在唯一的c＜d，使命题成立。【例5】α、β、γ∈（0，），且ctgα=α，sin(ctgβ)=β，ctg(sinγ)=γ。比较α、β、γ的大小。解：∵α、β、γ∈（0，），∴ctgβ>0，0ctgγ。作出函数y=ctgx在（0，）上的图象，可看出：β<α<γ。【例6】　n∈N，n≥2，求证：cos·cos·····cos>。证明：∵0<<<···<<<1，∴0

5、-sin2>1-=，k=2，3，…，n。∴(cos·cos·····cos)2>(·)·(·)·(·)···(·)=·>>()2，∴cos·cos·····cos>。二、三角恒等变换众多的三角公式，构成了丰富多彩的三角学。要灵活地进行三角恒等变换，除熟练地掌握三角公式以及一般的代数变形技巧外，更重要的是抓住三角式的结构特征，从角和函数名入手，深入分析，灵活解题。【例1】（1）已知cosβ=-，sin(α+β)=，且0<α<<β<π，求sinα的值。（2）已知sin(-α)=，求的值。提示：（1）sinα=。（2）sin2α=1-2sin2(-α)=；=。【说明】三角变换

6、重在角的变换。【例2】求coscoscos…cos的值。解法1：利用公式cosθcos2θcos4θ···cos2nθ=，得coscoscoscos=-，∴coscoscoscos=。又coscos=，cos=，∴coscoscos…cos=××=。解法2：coscoscos…cos=·······==。解法3：利用公式cosαcos(+α)cos(-α)=cos3α，取α=、。【例3】求cos420°+cos440°+cos480°的值。解：由倍角公式得cos4θ=()2=(1+2cos2θ+cos22θ)=+cos2θ+cos4θ，∴cos420°+cos440°+

7、cos480°=×3+(cos40°+cos80°+cos160°)+(cos80°+cos160°+cos320°)=+(cos40°+cos80°+cos160°)=+(2cos60°cos20°-cos20°)=。【例4】若sinα+cosβ=，cosα+sinβ=，求sinαcosβ的值。解：令θ=-β，则(1)÷(2)得tg=，cos(α+θ)=，∴sinαcosβ=sinαsinθ=-[cos(α+θ)+cos(α-θ)]=-。【例5】已知f(x)=sin(x+θ)+cos(x-θ)是偶函数，0<θ<π，求θ。解法一：由偶函数