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1、1.4角平分线(2)一回顾与思考定理角平分线上的点到这个角的两边距离相等.老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.如图,∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).CB1A2PDEO逆定理在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.如图,∵PD=PE,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知),∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这
2、个角的平分线上).老师提示:这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.CB1A2PDEO二探究新知剪一个三角形纸片通过折叠找出每个角的平分线.结论:三角形三个角的平分线相交于一点.你想证明这个命题吗?观察这三条角平分线,你发现了什么?你能证明这个命题吗?利用尺规作出三角形三个角的角平分线.结论:三角形三个角的角平分线相交于一点.老师期望:你能写出规范的证明过程.你想证明这个命题吗?你能证明这个命题吗?再观察这三条角平分线,你又发现了什么?与同伴交流.思考分析命题:三角形三个角的平分线相交
3、于一点.基本思路:我们知道,两条直线相交只有一个交点.要想证明三条直线相交于一点,只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚学到的逆定理.如何证三条直线交于一点？ABCPMNDEF如图,设△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,过点P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足分别E,F,D.∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).同理,PE=PF∴PD=PF..∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部,且到角两边距离相等的点,在这个角的平分线
4、上).∴△ABC的三条角平分线相交于一点P.定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.如图,在△ABC中,∵BM,CN,AH分别是△ABC的三条角平分且PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC老师提示:这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一这个交点叫做三角形的内心.ABCPMNDEF∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF(三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等).H[例3]如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足
5、为E．(1)已知CD=4cm，求AC的长；(2)求证：AB=AC+CD．练一练DABEC(1)解：∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB∴DE=CD=4cm∵AC=BC∴∠B=∠BAC(等边对等角)∵∠C=90°，∴∠B=×90°=45°．∴∠BDE=90°-45°=45°．∴BE=DE(等角对等边)．在等腰直角三角形BDE中(勾股定理)，∴AC=BC=CD+BD=(4+)cm．[例3]如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．(1)已知CD=4
6、cm，求AC的长；(2)求证：AB=AC+CD．练一练DABEC(2)证明：由(1)的求解过程可知，Rt△ACD≌Rt△AED(HL)∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）∵BE=DE=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD．三挑战自我1.已知:如图,∠C=900,∠B=300,AD是Rt△ABC的角平分线.求证:BD=2CD.老师期望:你能写出规范的证明过程.ABCD证明∵∠C=90°∴∠B=30°∴Rt△ABC中，AB=2BC,∠BAC=60°∵AD是△ABC的角平分线∴∠BAD=∠DAC=30°,AD=BD
7、∴Rt△ACD中，AD=2CD∴BD=2CD2.已知:如图,△ABC的外角∠CBD和∠BCE的角平分线相交于点F.求证:点F在∠DAE的平分线上.ABCFDE证明：∵BF是∠CBD的角平分线∴F到BC,AD的距离相等∵BF是∠CBD的角平分线∴F到BC,AE的距离相等∴F到AD,AE的距离相等从而点F在∠DAE的平分线上.3.已知:如图,P是∠AOB平分线上的一个点，并且PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C,D.求证:(1)OC=OD;(2)OP是CD的垂直平分线.BAPDCO证明(1)∵P为P是∠AOB平分线
8、上的一个点PC⊥OA,PD⊥OB∴PC=PDRt△POC和Rt△POD∵OP=OPRt△POC≌Rt△POD∴OC=OD(2)由PC=PD得P在CD的垂直平分线上由OC=OD得O在CD的垂直平分线上∴OP是CD的垂直平分线.拓展探索：如图,已知△ABC,作△ABC一个内角和与它不相邻的两个外角的平分线,看它们是否交于一点?这样的点有几个?如果以这个点为圆心,这一点到三角形一边的距离为半
