张驰有度收放自如.doc

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1、张驰有度，收放自如——例谈放缩法证不等式江苏省启东中学张杰所谓放缩法就是利用不等式的传递性，根据证题目标进行合情合理的放大或缩小，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。本文例谈运用放缩法证题。引例：已知，求证:本例中左边不等号显然成立，关键是如何证右边的不等式！观察本题特征，为分式形式，联想到，所以考虑对通项进行放缩，即由，得，由此得，即原不等式成立。对于分式，通常利用的恒等变换结论，将其每项“一分为二”成二数之差的形式,从而“裂项相消”。上述引例中，根据时，有，其结论还可加强为：

2、根据上述引例，我们再谈下列例题：例1.已知函数（1）求证:当时，不等式恒成立；（2）求证:()分析:本题第(1)小题含有对数函数,属超越函数范畴,主要通过导数法证原函数单调性后,求其在确定的区间上的最值,从而证得不等式成立;而第(2)小题是不等式，欲证其成立，可通过两边“取对数”的方法进行化归，其间利用第(1)题的结论,放缩法是解决问题的最佳方法.证明:(1)记,则得在上单调递增,从而,得不等式恒成立；(2)由(1)得,所以,,,,上述不等式叠加得,即,从而,所以成立.点评:从解析过程知,本题第(2)小题通过两次放缩,第一次是为了将分数凑成如的形式,第二次是通过求和后再放

3、缩,去掉小数部分.如放弃第一次放缩,则得,就不能通过“裂项相消法”化简计算了.如将本题题干中的函数修改为,则仿照上述过程，可将第(2)小题的结论加强为,().例2.已知数列满足，，求证：分析:欲证不等式中已含有形如的分式，但不完全如此！即，因此第一步考虑如何将进行适当的放缩后化成常数，这可根据已知条件中给出的递推公式进行。证明：由条件可知数列的各项均为正数，故由基本不等式得，若，则，这与已知条件矛盾.所以，从而，其中，因上述两个不等式中等号不可能同时成立，故于是，，因，故，得点评：数列求和中不等关系证明的两种方法：1.每一项转化为两项差，求和后消去中间项（裂项法）与放缩法

4、的结合；2.用放缩法转化为等比数列求和。本题技巧性较强,经过了三次放缩，关键是放缩后的式子要尽可能地接近原式，减小放缩度，以避免运算上的麻烦。第一次是利用基本不等式，将转化为常数，在此步骤中，因两不等式中的等号不可能同时成立，所以，两式相乘后不取等号，这一过程是易错之处，必须加以警示！第二次是通过裂项相消后，对进行放缩，此步容易理解；第三次是对实数进行放缩，证题目标是，故选择即可，证题目标改为，试问将放大到什么分数？