2013数学建模C题古塔问题探究.doc

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1、.word格式.古塔的变形监测与预测摘要：本文针对古塔长时间承受自重和外力作用引起的组合变形问题，采用数据处理、几何分析及曲线拟合的方法，利用matlab、lingo等数学软件编程、计算，给出了确定古塔各层中心位置的通用方法，根据所给的各次测量数据计算出古塔各层的中心坐标（见表9），分析了该塔的倾斜、弯曲、扭曲等变形情况并对变形趋势做了预测。得出如下结论：1、随着时间的增长，古塔的倾斜弧度与时间呈二次抛物线分布，总的变形是先减小后增大趋势。2、随着时间的增长，古塔的弯曲曲率与时间呈三次函数分布，曲率随时间先增大，后减小，再增大的趋势。3、随着时间的增长，古塔的扭曲角弧度

2、与时间呈二次抛物线分布，总的扭曲变形是先减小后增大趋势。关键词：中心坐标投影组合变形倾斜弯曲扭曲.专业.专注..word格式.一、问题重述由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。为保护古塔，防止其变形而导致破坏，文物部门需适时对古塔进行观测，通过测量所得数据可以了解各种变形量，以制定必要的保护措施。某古塔已有上千年历史，是我国重点保护文物。管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。请根据提供的4次观测数据，讨论以下问题：1.列表给

3、出各次测量的古塔各层中心坐标，给出确定古塔各层中心位置的通用方法。2.分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。3.分析该塔的变形趋势。二、模型假设1、假设塔的每层是一个平面，不考虑楼层厚度；2、假设古塔在2011年3月前没有进行过大的维修工程，如地基处理；古塔加固；3、假设观测过程中测的数据精确度高，误差很小，可以忽略不计；.专业.专注..word格式.4、假设把各种外界因素对塔的影响看做一个整体来研究；5、假设古塔在受到外界因素干扰时，未受到严重破坏；三、符号说明：第i层观测点的横坐标；：第i层观测点的纵坐标；：第i层观测点的竖坐标；G：表示的各层中心坐标；：第1层塔中心

4、塔尖中心连线的倾斜角；：塔尖到第1层竖坐标差；：曲线弯曲曲率；：扭转角；四、模型准备观察所给的数据，发现.专业.专注..word格式.1986年和1996年的测量数据中缺失了第13层观测点5的数据，对此我们观察当年已有的13层观测点5数据，计算各观测点的平均坐标，发现观测值与平均值之差在允许范围内，因此我们选取平均值作为缺失数据的补充，1986年观测点5补充数据（566.195,520.132,52.795），1996年观测点5补充数据（566.2314,520.1482.52.731）。2009年和2011年观测点只有1个，我们只能将此观测数据作为塔尖的中心坐标。五、

5、模型建立与求解（一）问题一古塔有13个塔层和1个塔尖，通过对数据的分析以及matlab作图（如图1）可以知道古塔1到13层的结构相似，而塔尖和塔层观测点数目不同，而且结构各异，由此我们分别讨论塔层和塔尖，找到它们的中心。图11第1层到13层1.1问题分析每层塔的8个观测点的z不全相同，它们构成一个不规则的曲面。首先，将8个观测点投影到xoy面，投影点分别为。.专业.专注..word格式.利用matlab拟合一个斜平面，满足：8个观测点与斜平面的交点与对应观测点的距离之和最小。依次连接这8个交点，所得图形的中心就是要找的塔层中心。再将xoy面的投影点依次连接，利用ling

6、o软件拟合出一个到8个顶点的距离之和最小的圆，圆心G可以近似看做该八边形的中心。最后，过圆心作平行于z轴的直线，它与斜平面的交点就是我们所要找的塔层的中心点。1.2模型建立设拟合的斜平面方程为：（1）建立模型：min（）设xoy面内拟合的圆的方程为：（2）建立模型：min1.3模型求解根据已知数据，利用matlab拟合可以算出A，B，C，得到斜平面的方程，做出图像（如图2）；利用lingo软件拟合，可以得到圆的方程，如图3。将圆心坐标，代入斜平面的方程可解出，即得到中心坐标的通式.专业.专注..word格式.图2图3将四年测量的数据代入之后得到1到13层的中心坐标（如表

7、1）表1.专业.专注..word格式.年份19861996坐标层数XYZXYZ1566.665522.7091.7874566.6652522.70871.7832566.7225522.67147.3203566.7234522.67047.31463566.7787522.634812.7553566.7803522.633112.75084566.8227522.605817.7553566.8248522.603617.07525566.87522.574621.7206566.8727522.571821.71616566.91