一元二次方程知识结构图.doc

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1、一元二次方程知识结构      1.一元二次方程有关概念：     ①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程。②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2。     2.一元二次方程一般式        一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如ax2+bx+c=0 (a≠0,a,b,c是常数)的形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式。一次项系数b和常数项c可取任意实数，而二次项系数a必须是不等于0的实数。要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式。注：

2、a≠0这个条件十分重要.     3.方程解的含义   （1）一元二次方程的解（根）的意义：     能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解。一元二次方程的解也称为一元二次方程的根（只有      一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根）。  （2）一元二次方程一定且最多有两个解，但不一定有两个实数解。    4  判别式    利用一元二次方程根的判别式可以判断方程的根的情况。一元二次方程 的根与根的判别式 有如下关系：①当 时，方程有两个不相等的实数根；②当 时，方程有两个相等的实数根；③当 时，方程无实数根，有2个不相等

3、的复数根。上述结论反过来也成立。     5  根与系数的关系  一元二次方程的两根与方程中各系数有如下关系： ， （也称韦达定理）。由韦达定理可得，当方程的两根为x1=p，x2=q时，方程为：a[x2-(p+q)x+pq]=0（其中 ）。     6  方程的解法    (l)  直接开平方法    形如x2=p或(nx+m)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方法解一元二次方程。    注意       ①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数。                   ②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两

4、个一元一次方程。                  ③方法是根据平方根的意义开平方。    (2)   配方法      步骤           将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法。     用配方法解一元二次方程的步骤：          ①把原方程化为一般形式；         ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；        ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；        ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；       

5、 ⑤如果右边是非负数，即可进一步通过直接开平方法求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解。    配方法的理论依据是完全平方公式a²+b²±2ab=（a±b）²    配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。     (3) 求根公式法      步骤        用求根公式解一元二次方程的方法叫做求根公式法。        用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为：       ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；       ②求出判别式 的值，判断根的

6、情况；      ③在 的前提下，把a、b、c的值代入公式 进行计算，求出方程的根。     推导过程                一元二次方程的求根公式导出过程如下：               （为了配方，两边各加 ）              （化简得）。                 一元二次方程的求根公式在方程的系数为有理数、实数、复数或是任意数域中适用。         (4)  因式分解法         因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能

7、得到两个一元一次方程的解，这样也就把原图解法方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题（数学化归思想）。           因式分解法解一元二次方程的一般步骤：                   ①移项，使方程的右边化为零；                   ②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；                   ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；                  ④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解。