在两个函数定义域中.doc

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1、在两个函数定义域中,存在一个与任意一个对函数值域关系的影响李玉春吴远红对两个函数y=f(x)、y=g(x),若任意一个自变量∈Ｄ,存在一个自变量∈Ｄ,使得g()＝f().则隐含着两函数存在关系,对函数值构成的集合是函数y=f(x)的值域;使得g()＝f(),说明f()也是y=g(x)值域中的值,即函数y=f(x)的值域是y=g(x)值域的子集.能够从题意中概括总结出两者值域的关系，是解决此类问题的关键，可以从以下例子中体会此类问题的解决方法．例1.已知函数f（x）=ax+lnx，x∈（1，e），且f（x）有极值．（1）求实数a的取值范围；（2）求函数f（x）的值域；（3）函数g（x）=-x-2

2、，证明：∀∈（1，e），∃∈（1，e），使得g（）=f（）成立．分析:（1）由f（x）=ax+lnx求导，再由f（x）有极值知f′（x）=0解，且在两侧导函数正负相异求解．（2）由（Ⅰ）可知f（x）的极大值为f()=-1+ln()，再求得端点值f（1）=a，f（e）=ae+1，比较后取最小值和最大值，从而求得值域．（3）证明：由：∀∈（1，e），∃∈（1，e），使得g（）=f（）,即研究：f（x）的值域是g（x）的值域的子集，所以分别求得两函数的值域即可．解：（1）由f（x）=ax+lnx求导可得：f′(x)=a+．令f′(x)=a+=0，可得a=-∵x∈（1，e），∴-∈(-1，-)∴a∈(

3、-1，-)又因为x∈（1，e）所以，f（x）有极值，实数a的取值范围为(-1，-)．（2）由（Ⅰ）可知f（x）的极大值为f()=-1+ln()又∵f（1）=a，f（e）=ae+1由a≥ae+1，解得a≤又∵-1＜＜-∴当-1＜a≤时，函数f（x）的值域为（ae+1，-1+ln（）当＜a＜-时，函数f（x）的值域为（a，-1+ln（）]．（3）证明：由g（x）=-x-2求导可得g'（x）=3-1令g'（x）=3-1=0，解得x=±令g'（x）=3-1＞0，解得x＜-或x＞又∵x∈(1，e)⊆(，+∞)∴g（x）在（1，e）上为单调递增函数∵g（1）=-2，g（e）=-e-2∴g（x）在x∈（1，

4、e）的值域为（-2，-e-2）∵-e-2＞-1+ln()，-2＜ae+1，-2＜a∴(ae+1，-1+ln()]⊆(-2，-e-2)，(a，-1+ln()]⊆(-2，-e-2)∴∀∈（1，e），∃∈（1，e），使得g（）=f（）成立．分析:（1）先对函数进行求导，根据函数在x=1，x=取得极值，则f′(1)=0，f′()=0，代入可求a，b的值．(2)由题意得,g(x)的最小值大于或等于f(x)的最小值,从另一角度看,g(x)的值域是f(x)值域的子集.解：（1）∵f(x)=2ax-+1nx，∴f′(x)=2a+．∵f（x）在x=1，x=处取得极值，∴f′(1)=0，f′()=0即2a+b+1

5、=02a+4b+2=0解得a=-b=-∴所求a、b的值分别为-，-(2)f(x)-lnx=在时单调递减,最小值为图象的对称轴是，①当时，依题意成立，②当时，即，又③当时，，，这与m>2矛盾.综上所得: