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时间:2020-02-25
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1、初中数学知识点归纳——函数篇一、函数1.常量、变量和函数在某一过程中可以取不同数值的量,叫做变量.在整个过程中保持统一数值的量或数,叫做常量或常数.一般地,设在变化过程中有两个互相关联的变量x,y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与之对应,那么就称y是x的函数,x叫做自变量.2.函数的两要素(1)函数的定义域(2)对应法则3.函数的表示方法(1)解析法就是用一个等式来表示一个变量是另一个变量的函数,这个等式叫做这个函数的解析表达式(函数关系式).(2)列表法(3)图像法4.函数的值域一般的,当函数f(x)的自变量x取定义域D中的一个确定的值a时,函数都有唯一
2、确定的对应值,这个对应值称为x=a时的函数值,简称函数值,记作:f(a).5.函数的图像若把自变量x的一个值和函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标,可以在直角坐标平面上描出一个点(x,f(x)),这些点构成一个图形F,这个图形F就是函数y=f(x)的图像.知道函数的解析式,要画函数的图像,一般分为列表,描点,连线三个步骤. 二、正比例函数与反比例函数1.正比例函数一般地,函数y=kx(k是不等于零的常数)叫做正比例函数,其中常数k叫做变量y与x之间的比例常数,确定了比例常数k,就可以确定一个正比例函数.正比例函数y=kx有下列性质: (1)当k>0时,它的图像经过第一、三象限,y
3、随着x的值增大而增大;当k<0时,他的图像经过第二、四象限,y随着x的增大而减小.(2)随着比例常数的绝对值的增加,函数图像渐渐离开x轴而接近于y轴,因此,比例系数k和直线y=kx与x轴正方向所成的角有关据此,k叫做直线y=kx的斜率.2.反比例函数一般地,函数y=k/x(k是不等于0的常数)叫做反比例函数.反比例函数y=k/x有下列性质:(1)当k>0时,他的图像的两个分支分别位于第一、三象限内,在每一个象限内,y随x的值增大而减小;当k<0时,它的图像的两个分支分别位于第二、四象限内,在每一个象限内,y随x的增大而增大.(2)它的图像的两个分支都无限接近但永远不能达到x轴和y轴.
4、三、一次函数1.一次函数及其图像形如y=kx+b(k,b为常数)的函数叫一次函数.如果k=0时,函数变形为y=b,无论x在其定义域内取何值,y都有唯一确定的值b与之对应,这样的函数我们称它为常函数.直线y=kx+b与y轴交与点(0,b),b叫做直线y=kx+b在y轴上的截距,简称纵截距.2.一次函数的性质函数y=f(x),在a5、的解,这种求二元一次方程组的解法叫图像法.3.一次函数的应用一、定义一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数且a≠0)的函数,叫做二次函数,其中x是自变量,y是x的函数.二次函数表达式的右边通常为二次三项式.二、二次函数的三种表达式一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0).顶点式:y=a(x-h)2+k,抛物线的顶点为P(h,k),对于二次函数y=ax2+bx+c,其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b2)/4a).交点式:y=a(x-x1)(x-x2),此时仅限于与x轴有交点A(x1,0)和B(x2,0)的抛物线,其中x1=(-b±√b2-4ac)/2a,6、x2=(-b±√b2-4ac)/2a.注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:h=-b/2a=(x1+x2)/2,k=(4ac-b2)/4a;与x轴交点:x1,x2=(-b±√b2-4ac)/2a.三、二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图像,可以看出,二次函数的图像是一条永无止境的抛物线.★四、抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形.对称轴为直线x=-b/2a.对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P.特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴,即直线x=0,此时函数解析式变形为y=ax2+c(a≠0).2.抛物线有一个顶点P,坐标为P(-b/2a,(4ac-b2)/47、a).当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ=b2-4ac=0时,P在x轴上.3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口.8、a9、越大,则抛物线的开口越小.当a>0时,函数在x=-b/2a处取得最小值f(-b/2a)=(4ac-b2)/4a;当a<0时,函数在x=-b/2a处取得最大值f(-b/2a)=(4ac-b2)/4a.4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.当a与b同号时(即ab>0)
5、的解,这种求二元一次方程组的解法叫图像法.3.一次函数的应用一、定义一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数且a≠0)的函数,叫做二次函数,其中x是自变量,y是x的函数.二次函数表达式的右边通常为二次三项式.二、二次函数的三种表达式一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0).顶点式:y=a(x-h)2+k,抛物线的顶点为P(h,k),对于二次函数y=ax2+bx+c,其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b2)/4a).交点式:y=a(x-x1)(x-x2),此时仅限于与x轴有交点A(x1,0)和B(x2,0)的抛物线,其中x1=(-b±√b2-4ac)/2a,
6、x2=(-b±√b2-4ac)/2a.注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:h=-b/2a=(x1+x2)/2,k=(4ac-b2)/4a;与x轴交点:x1,x2=(-b±√b2-4ac)/2a.三、二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图像,可以看出,二次函数的图像是一条永无止境的抛物线.★四、抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形.对称轴为直线x=-b/2a.对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P.特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴,即直线x=0,此时函数解析式变形为y=ax2+c(a≠0).2.抛物线有一个顶点P,坐标为P(-b/2a,(4ac-b2)/4
7、a).当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ=b2-4ac=0时,P在x轴上.3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口.
8、a
9、越大,则抛物线的开口越小.当a>0时,函数在x=-b/2a处取得最小值f(-b/2a)=(4ac-b2)/4a;当a<0时,函数在x=-b/2a处取得最大值f(-b/2a)=(4ac-b2)/4a.4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.当a与b同号时(即ab>0)
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