运用双曲线模型解题.docx

《运用双曲线模型解题.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、运用双曲线模型解题数学问题“模型化”的主要思想就是构造一种“实物”作为数学问题的元素，把数学问题中元素间抽象的相互关系解释为这种“实物”间的一种具体关系。于是，抽象的数学问题就有了一种解释，也就是把这个数学问题建立了一个“数学模型”。实践表明，在解题过程中，建立和运用模型思想，有利于整体性和创造性地处理问题。以下从六个方面就建立和运用双曲线模型解题作点说明。1・解方程例1•解方程7x2+4x+8-J兀2—8兀+2()=4简析与解：由两根式差为4,联想到双曲线的定义，可用双曲线模型解题。Jo+2)2+y2-J(x-4)2+y2=4①原

2、方程即为“〉7?y2=4②①式可看着动点P(x,y)到定点(-2,0)与(4,0)的距离之差为4,由双曲线的定义知动点P(x,y)的轨迹是以(一2,0),(4,0)为焦点，实、虚半轴长分别为2,亦的双曲线UlLzlul的右支，将二4代入解得x=l土仝5(负根舍去)即x=l+5§45552.解不等式例2.解不等式血一1

3、t与等轴双曲线有交点的一般双曲线弧的范围。在同一坐标系中分别作出双曲线x2-y2=l及y二一x+t的图象,<1•••原不等式的解集为｛a

4、2knkWz}3.求值域例3•求函数七=x+Jx?-2x+2的值域。简析与解：因^y=Vx2-2x+2的图象就是双曲线亍一仗_1产=1的上支，所以此题也可构造双曲线模型来解。将原函数变形为t—X=7x2-2x+2，简析与解：原方程等价于x—翳=厶2_/>0,联想到y=7x2-t/2的图象是双曲线x2-y2=a2在x轴上方的部分，于是可考虑用双曲本模型来解题。令y=x—ka=yjx2-a2,原题转化

5、为平行直线系y=x—ak与等轴双曲线x2-y2=a2在x轴上方有交点的条件。在同一坐标系中作出双曲线x2-y2=a2与直线y=x-ak在x轴上方的部分图象,它们有交点的条件是~ak>a或-a<-ak<0・・・k<一1或0

6、a

7、=

8、b

9、+6,求点M(x,y)的轨迹方程。简析与解：由

10、a

11、=

12、b

13、+6BP

14、a

15、-

16、b

17、=6而联想到双曲线的定义,可构造双曲线模型解题。VM(x,y)到定点R(0,-5).F

18、2(0,5)的距离分别等于

19、a

20、、

21、b

22、,且

23、a

24、—

25、b=6<

26、FF2I。・••点M(x,y)的轨迹是以"、F2为焦点的双曲线的上支，故所求轨迹方程为：^-4=1(7^3)9166.解应用题。如图，A村在13地的东北方向上，且离13地相距6^2km,C村在B村的正东方向，且与B地相距4Km,己知公路PQ上任一点到B、C两地距离之差都为2Km,现要在公路旁建造一个变电房M(变电房可视为建在公路上)分别向人村、C村送电，但A村有一村办工厂，且电须用专用线路。因此向A村要架两条线路分别给村民和工厂送电，要使所用电线最短，变电房应建在A村的

27、什么方向，并求出到A村的距离。简析与解：丨MBI-IMCI=2

28、=2IMN

29、依题意求2IMA

30、+IMC

31、的最小值，即求2(IMAI+IMNI)的最小值。山平几知识可知，当M、A、N共线时丨MAI+IMN

32、最小。・・・M(V13,6)IAMI=4-V13即变电房应建在A村的正西方向且距

33、A村(4-713)km处。(木文于2004年在《屮学数学教学参考》第6期上发表)