尹丽娜基本不等式课件.ppt

《尹丽娜基本不等式课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、3.4基本不等式这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。思考1：这个会标中含有哪些几何图形？思考2：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？ab1、正方形ABCD的面积S=_____２、四个直角三角形的面积之和S’=＿＿３、S与S’有什么样的不等关系？思考：S与S’有相等的情况吗？探究一DBACEFGHbaABCDE(FGH)ab当且仅当时，等号成立你能给出不等式的证明吗？证明:探究二：∴重

2、要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有,当且仅当a=b时，等号成立.2.文字叙述:两数的平方和不小于它们积的2倍.1.适用范围：在这个不等式中，如果我们用分别代替,会有什么样的结论？探究三替换后得到：即：即：你能将下面的证明过程补充完整吗？在不等式中，如果我们用分别代替会有什么样的结论？探究三探究四证明：要证只需证①要证①，只需证②要证②，只需证③显然,③是成立的.当且仅当a=b时,③中的等号成立.证明不等式：探究四分析法证明：证明不等式：探究四特别地，若a>0，b>0，则≥通常我们把上式写作：当且

3、仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.基本不等式我们把叫做两个正数a，b的算术平均数，叫做两个正数a，b的几何平均数。2.文字叙述(代数解释）两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。1.适用范围：a>0,b>0你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?Rt△ACD∽Rt△DCB，ABCDEabO如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=____

4、__探究五你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______③OD与CD的大小关系怎样?OD_____CD＞≥如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.几何意义：半径不小于弦长的一半ADBEOCab探究五适用范围文字叙述“=”成立条件填表比较：例1：(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱

5、笆是多少？解：如图设BC=x，CD=y，则xy=100，篱笆的长为2(x+y)m.当且仅当时，等号成立因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.此时x=y=10.x=yABDC若x、y皆为正数，则当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时，x+y有最小值_______.例1：(2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：如图，设BC=x，CD=y，则2(x+y)=36,x+y=18矩形菜园的面积为xym

6、2得xy≤81当且仅当x=y时，等号成立因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m2即x=y=9ABDC若x、y皆为正数，则当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最大值_______；①各项皆为正数；②和或积为定值；③注意等号成立的条件.一“正”二“定”三“相等”利用基本不等式求最值时，要注意已知x,y都是正数,P,S是常数.(1)xy=Px+y≥2P(当且仅当x=y时,取“=”号).(2)x+y=Sxy≤S2(当且仅当x=y时,取“=”号).14解：∵∴当且仅当即时

7、，等号成立。1.已知，当取何值时，有最小值？最小值是多少?∴当时，有最小值，最小值是2.练习练习大16小6练习=(x+1)+-11x+1f(x)=x+1x+1=1,≥2(x+1)∙-11x+1当且仅当取“=”号.∴当x=0时,函数f(x)的最小值是1.x+1=,即x=0时,1x+1解:∵x＞-1,∴x+1>0.∴4.求函数f(x)=x+(x＞-1)的最小值.1x+1练习配凑系数分析:x+(1-2x)不是常数.2=1为解:∵00.12∴y=x(1-2x)=∙2x∙(1-2x)12≤∙[

8、]22x+(1-2x)21218=.当且仅当时,取“=”号.2x=(1-2x),即x=14∴当x=时,函数y=x(1-2x)的最大值是.14185.若0