2019高考数学二轮复习第一篇微型专题微专题08数列求和的方法练习理.docx

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1、08　数列求和的方法1.已知数列5,6,1,-5,…,该数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前16项之和S16等于(　　).　　　　　　　　　　　　　　　A.5B.6C.7D.16解析▶　根据题意得这个数列的前8项分别为5,6,1,-5,-6,-1,5,6,发现从第7项起,数字重复出现,所以此数列为周期数列,且周期为6,前6项和为5+6+1+(-5)+(-6)+(-1)=0.又因为16=2×6+4,所以这个数列的前16项之和S16=2×0+7=7.故选C.答案▶　C2.已知在等差数列{an}中,

2、a3

3、=

4、a9

5、,公差d<0,Sn是数列

6、{an}的前n项和,则(　　).A.S5>S6B.S5

7、a3

8、=

9、a9

10、,∴a3>0,a9<0,且a3+a9=2a6=0,∴a6=0,a5>0,a7<0,∴S5=S6.故选D.答案▶　D3.若数列1n(n+1)的前n项和为99100,则n=　　　. 解析▶　由题意得11×2+12×3+13×4+…+1n(n+1)=1-12+12-13+13-14+…+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1=99100,∴n=99.答案▶　994.已知等差数列{an}的公差d>0,前n项和为Sn,a2,a4是方程x2-10x+21=0

11、的两个根.(1)求证:1S2+1S3+…+1Sn<1.(2)求数列{2-nan}的前n项和Tn.解析▶　(1)∵方程x2-10x+21=0的两个根分别为x1=3,x2=7,∴由题意得a2=3,a4=7,∴a1+d=3,a1+3d=7,解得a1=1,d=2,∴an=1+(n-1)×2=2n-1,Sn=n×1+n(n-1)2×2=n2.当n≥2时,Sn=n2>n(n-1),∴1S2+1S3+…+1Sn<11×2+12×3+…+1n(n-1)=1-12+12-13+…+1n-1-1n=1-1n<1.(2)∵2-nan=2n-12n,∴Tn=121+322+523+…+2n

12、-12n,　①∴12Tn=122+323+…+2n-32n+2n-12n+1.　②由①-②得12Tn=12+2122+123+…+12n-2n-12n+1=12+2×1221-12n-11-12-2n-12n+1=32-2n+32·12n,∴Tn=3-2n+32n.能力1▶　会用分组求和法求和【例1】　已知数列{an}满足a1=2,a2+a4=8,且对任意n∈N*,函数f(x)=(an-an+1+an+2)x+an+1cosx-an+2sinx满足f'π2=0.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=2an+12an,求数列{bn}的前n项和Sn.解析▶　(1

13、)由题设可得f'(x)=an-an+1+an+2-an+1sinx-an+2cosx.对任意n∈N*,f'π2=an-an+1+an+2-an+1=0,即an+1-an=an+2-an+1,故数列{an}为等差数列.由a1=2,a2+a4=8,得数列{an}的公差d=1,所以an=2+1×(n-1)=n+1.(2)因为bn=2an+12an=2n+1+12n+1=2n+12n+2,所以Sn=b1+b2+…+bn=(2+2+…+2)+2(1+2+…+n)+12+122+…+12n=2n+2×n(n+1)2+121-12n1-12=n2+3n+1-12n.　　某些数列的

14、求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差,从而求得原数列的和.注意在含有字母的数列中对字母的讨论.(1)若数列{cn}的通项公式为cn=an±bn,且{an},{bn}为等差数列或等比数列,则可以采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.(2)若数列{cn}的通项公式为cn=an,n为奇数,bn,n为偶数,且数列{an},{bn}是等比数列或等差数列,则可以采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.(3)若数列的通项式中有(-1)n等特征,根据正号、负号分组求和.已知在等比数列{an}中,an>0,a1=4,1an-1an+1=2an+2,n∈N*.(1)求数列{

15、an}的通项公式;(2)设bn=(-1)n·(log2an)2,求数列{bn}的前2n项和T2n.解析▶　(1)设等比数列{an}的公比为q,则q>0.由a1=4,1an-1an+1=2an+2,得1a1qn-1-1a1qn=2a1qn+1,解得q=2,所以an=4·2n-1=2n+1.(2)bn=(-1)n·(log2an)2=(-1)n·(log22n+1)2=(-1)n·(n+1)2.设cn=n+1,则bn=(-1)n·cn2.故T2n=b1+b2+b3+b4+…+b2n-1+b2n=-c12+c22+(-c32)+c42+…+(-c2n-12)+c2n2