几何基础学习指导(6).doc

《几何基础学习指导(6).doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、.....几何基础学习指导(6)第4章射影变换重难点解析1.交比和调和比仿射变换（对应）是对平行射影而言的，单比是仿射几何中最重要的概念，它又是仿射变换的基本不变量.在研究中心射影时，我们引进了无穷远元素.可以证明，在中心射影下，共线三点的单比不是不变量.由此引入交比概念，首先研究共线四点的交比（1）关于交比的定义定义（4.2）把交比定义为两个单比的比，即共线四点A，B，C，D的交比定义为两个单比（ABC）和（ABD）的比，表为(AB,CD)=.交比也称复比，即两个单比之比的意思.这种定义可称为几何定义.交比还有另一种定义，

2、即代数法定义：设四个不同的共线点A，B，C，D的坐标顺次为A，B，A+λ1B，A+λ2B，则(AB，CD)=以上两种定义方法是不同的.用第一种方法定义(AB，CD)==，所用坐标的非齐坐标，AC，BD，BC，AD都指有向线段的代数长度；第二种定义方法(AB，CD)=,用齐次坐标.例如，共线四点A（2，1，-1），B（1，-1，1），C（1，0，0），D（1，5，-5），求（AB，CD）时，可把A和B作为基础点对，则C=A+B，λ1=1，D=2A-3B，λ2=所求交比=注意，第二种定义方法采用齐次点坐标，可以不限制这四个点中是

3、否有无穷远点.所以，定义(AB，CD)==，还属于欧氏平面上的定义，不能解决无穷远点的问题，在射影平面，应使用(AB，CD)=的定义方法.关于交比的定义，要注意以下问题：①A，B，C，D四点必须共线，而且要考虑顺序，顺序不同则交比不同；②AC，BD，BC，AD都是有向线段的代数长，因而交比（AB，CD）是个数值.（2）交比的性质学习参考.....由于A，B，C，D四个点的编排顺序不同，所得的交比也不同，共线四点可以组成24种编排顺序，因而可以有24个交比值.由交比的性质原理可知，对于每个排列，还有另三种排列，它们的交比等于已

4、知排列的交比，因此，这24种排列所产生的交比值，实际上只有6类，并且在24个排列中，只要求出1个交比值，就可求出其它23个交比值.例如，已知（AB，CD）=3，则可知（DC，BA）=（BA，DC）=（AB，CD）=3.而（AC，BD）=1－（AB，CD）=－2（3）几个特殊的交比共线四点A，B，C，D中，设A，B，C是固定点，第四点D沿直线移动.可以证明，点D在直线上的每个位置都对应一个确定的交比（AB，CD）的值.点D的不同位置对应不同的交比值，不然的话，假设点D和D'在两个不同的位置，且有（AB，CD）=（AB，CD'）

5、则，因而（ABD）=（ABD'）这只有在D=D'时，等式才成立，因此，（AB，CD）的每个值，对应点D的一个确定的位置.当这四个点中有无穷远点时，还可以用其他方法证明这个结论.证明如下：设已知三点的坐标是A＋B，A＋B，A＋B则由（其中k为定值，且k≠0，1）可以求出，确定第四点.因此第四点A＋B唯一确定.下面讨论交比的几个特殊情况①D与C重合时，则有（AB，CD）=1②当D与B重合时，则有（AB，CD）=（AB，CB）==0③当D与A重合时，（AB，CD）=（AB，CA）=④D为无穷远点时，则有（AB，CD）=（AB，CD

6、∞）=（ABC）可以看出，若第四点为无穷远点，则其交比等于前三个点的单比（ABC），利用这个性质若无穷远点不在第四个点的位置，可以交换到第四个点的位置，以求其交比.学习参考.....（4）点列中四点的调和比调和比是交比的重要特例.当（AB，CD）=－1时，称为C，D调和分割A，B.或称点偶A，B与点偶C，D调和共轭.D叫做A，B，C的第四调和点.应当注意，在调和分割中，两对点的关系是完全对等的.点列中四点A，B，C，D所组成的交比可以有六个交比值，在一般情况下，这六个交比值是不等的，但当且仅当这四个点适当地编排顺序，可以组成

7、调和共轭的两对点偶时，（注意排除两点重合和虚点不考虑），那么这六个交比值才有相同的.（5）线束的交比和调和比①由定义知，四直线A，B，C，D的交比为=，注意这个定义中数目的排列.②要注意定理4.7：如果线束S的四线A，B，C，D被任何一条直线S截于四点A，B，C，D，则（AB，CD）=（AB，CD）的证明.在上述定理中，若点S，A，B，C，D都是有穷远元素时，或者，当S为无穷远点或S为无穷远直线时（即A，B，C，D都是无穷远点），此定理仍成立.即（AB，CD）的值与直线S的取法无关，所以仍可取（AB，CD）=（AB，CD）③

8、定理4.7是一个非常重要的定理，由于定理可以证明“两点列同时截一线束，则此点列上对应四点的交比相等.”还可以推广证明投影于同一点列的两线束的四条对应直线的交比相等.可以知道，此定理使点列和线束的问题沟通了，为研究交比是中心射影下的不变量打下基础，同时点列和线束的问题可以对偶地进行研究.（6