2019版高考数学大一轮复习第七章不等式第2节基本不等式及其应用学案北师大版.doc

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1、第2节　基本不等式及其应用最新考纲　1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.知识梳理1.基本不等式：≤(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.2.两个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.3.利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且

2、仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小).(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大).[常用结论与微点提醒]1.＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.2.ab≤≤.3.≤≤≤(a>0，b>0).4.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的.(　　)(2)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)(3)函数f(x)＝sinx＋的最小值为4.

3、(　　)(4)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件.(　　)解析　(1)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；不等式≥成立的条件是a≥0，b≥0.(2)函数y＝x＋值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值.(3)函数f(x)＝sinx＋的最小值为－5.(4)x>0且y>0是＋≥2的充分不必要条件.答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×2.设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　)A.80B.77C.81D.82解析　xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时取等号.答案　C3.若

4、函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　)A.1＋B.1＋C.3D.4解析　当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，即a＝3.答案　C4.(2017·山东卷)若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1，2)，则2a＋b的最小值为________.解析　由题设可得＋＝1，∵a>0，b>0，∴2a＋b＝(2a＋b)＝2＋＋＋2≥4＋2＝8.故2a＋b的最小值为8.答案　85.(教材习题改编)一段长

5、为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，则这个矩形的长为______m，宽为________m时菜园面积最大.解析　设矩形的长为xm，宽为ym.则x＋2y＝30，所以S＝xy＝x·(2y)≤＝，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝时取等号.答案　15　考点一　配凑法求最值【例1】(1)若x＜，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________；(2)函数y＝的最大值为________.解析　(1)因为x＜，所以5－4x＞0，则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝－2＋3＝1.当且仅当5－4x

6、＝，即x＝1时，等号成立.故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.(2)令t＝≥0，则x＝t2＋1，所以y＝＝.当t＝0，即x＝1时，y＝0；当t＞0，即x＞1时，y＝，因为t＋≥2＝4(当且仅当t＝2时取等号)，所以y＝≤，即y的最大值为(当t＝2，即x＝5时y取得最大值).答案　(1)1　(2)规律方法　1.应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.2.在利用基本不等式求最值

7、时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.【训练1】(1)(2018·西安月考)若对任意x≥1，不等式x＋－1≥a恒成立，则实数a的取值范围是________.(2)函数y＝(x>1)的最小值为________.解析　(1)因为函数f(x)＝x＋－1在[1，＋∞)上单调递增，所以函数g(x)＝x＋1＋－2在[0，＋∞)上单调递增，所以函数g(x)在[1，＋∞)的最小值为g(1)＝，因此对任意x≥1不等式x＋－1≥a恒成立，所以a≤g(x)最小值＝，故实数a的取值范围是.

8、(2)y＝＝＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2.当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立.答案　(1)　(2)2＋2考点二　常数代换或消元法求最值(易错警示)【例2】(1)(一题多解)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值为________；(2)(一题多解)已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________.解析　(1)法一　由x＋3y＝5xy可得＋＝1，∴3x＋4y＝(3x＋4y)＝＋＋