北京市石景山区2019届高三数学3月统一测试（一模）试题理

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1、2019年石景山区高三统一测试数学（理）本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合，，则下列关系中正确的是A.P＝QB.PQC.QPD.2.设是虚数单位，若复数，则复数的模为A.B.C.D.3.某几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为A.2B.6C.10D.244.九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智n为偶数n为奇

2、数游戏．在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的移动最少次数，满足，且，则解下个圆环所需的最少移动次数为A.B.C.D.5.中国南宋时期的数学家秦九韶提出了一种多项式简化算法，右图是实现该算法的程序框图，如输入的，依次输入的为1，2，3-14-，运行程序，输出的的值为A.B.C.D.6.已知平面向量，则是与同向的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.若，则下列各式中一定正确的是A.B.C.D.8.已知函数的一条对称轴为，，且函数在上具有单调性，则的最小值为A.B.C.D.-14-第二部分（

3、非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.若变量满足约束条件则的最小值为_________．10.等比数列的首项，，则其前项和_______．11.在极坐标系中，直线与圆的位置关系为______．（填“相交”、“相切”或“相离”）12.若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其表面积的值可能是______．（只需写出一个可能的值）13.过双曲线的一个焦点作其渐近线的平行线，直线与y轴交于点P，若线段OP的中点为双曲线的虚轴端点（O为坐标原点），则双曲线的离心率为____．14.在直角坐标

4、系中，点和点，设集合，且，，则；点,到轴距离之和的最小值为．-14-三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题13分）在中，角的对边分别为，，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的面积．16.（本小题13分）某不透明纸箱中共有4个小球，其中1个白球，3个红球，它们除颜色外均相同．（Ⅰ）一次从纸箱中摸出两个小球，求恰好摸出2个红球的概率；（Ⅱ）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取4次，记得到红球的次数为，求的分布列；（Ⅲ）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取

5、100次，得到几次红球的概率最大？只需写出结论．-14-17.（本小题14分）如图，在四棱锥中，平面平面，且四边形为矩形，，，，分别为的中点，在线段上（不包括端点）．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）是否存在点，使得二面角的大小为？若存在，求；若不存在，说明理由．18.（本小题13分）设函数，．（Ⅰ）若曲线在点处的切线与轴平行，求；（Ⅱ）当时，函数的图象恒在轴上方，求的最大值．19．（本小题满分14分）已知椭圆的离心率为，右焦点为，左顶点为，右顶点在直线:上．（Ⅰ）求椭圆的方程；-14-（Ⅱ）设点是椭圆上异于

6、，的点，直线交直线于点，当点运动时，判断以为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明．20.（本小题13分）若项数为的单调递增数列满足：①；②对任意（，），存在（，）使得，则称数列具有性质.（Ⅰ）分别判断数列和是否具有性质，并说明理由；（Ⅱ）若数列具有性质，且，（ⅰ）证明数列的项数；（ⅱ）求数列中所有项的和的最小值．-14-2019年石景山区高三统一测试数学（理）试卷答案及评分参考一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．题号12345678答案CBBADCAC二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．9．

7、；10．；11．相交；12．或或；13．；14．，．三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题13分）解：(Ⅰ)在中，，∴，∵，，由正弦定理得，∴．(Ⅱ)由余弦定理得，∴，解得或（舍）∴．16．（本小题13分）解：(Ⅰ)设“一次从纸箱中摸出两个小球，恰好摸出2个红球”为事件A．-14-则．(Ⅱ)可能取0，1，2，3，4．，，，，．所以的分布列为01234P（Ⅲ）75．17．（本小题14分）（Ⅰ）证明：在矩形中，∥，∵分别为的中点，∴∥，且，∴∥，∵平面，平面，∴∥平面．

8、（Ⅱ）证明：在矩形中，，∵矩形平面，且平面平面，∴平面，又平面，∴，∵，为的中点，∴，又，-14-∴平面，∵平面，∴平面平面．（Ⅲ）在平面内作的垂线，如图建立空间直角坐标系，∵，，，∴，，，，，，设，∴，∴，∴，，设平面的法向量为，∴即令，则，∴是平面的一个法向量，∵平面，∴平面的法向量为，∵二面角的大