圆锥曲线焦点弦长的一个公式在高考中的妙用

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1、qqqq圆锥曲线焦点弦长的一个公式在高考中的妙用圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点，主要是在解答题中，全国文科一般为压轴题的第22题，理科和各省市一般为第21题或者第20题，几乎每一年都有考察。由于题目的综合性很高的，运算量很大，属于高难度题目，考试的得分率极低。本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的通用公式，它是解决这类问题的金钥匙，利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了，中等学习程度的学生完全能够得心应手！?定理已知圆锥曲线（椭圆、双曲线或者抛物线）的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴)，焦点为F，设倾斜角为的直线经过F，且与圆锥曲线交于A

2、、B两点，记圆锥曲线的离心率为e，通径长为H，则（1）当焦点在x轴上时，弦AB的长；（2）当焦点在y轴上时，弦AB的长.本文仅对焦点在x轴上，中心在原点的双曲线为例证明，其它情形请读者自证.证明：设双曲线方程为（＞0，＞0），通径，离心率，弦AB所在的直线的方程为（其中，为直线的倾斜角），其参数方程为.代入双曲线方程并整理得：.由t的几何意义可得：ssqqqq推论（1）焦点在x轴上，当A、B在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，；当A、B不在双曲线的一支上时，；当圆锥曲线是抛物线时，.（2）焦点在y轴上，当A、B在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，；当A、B不在双曲线的一支

3、上时，；当圆锥曲线是抛物线时，.典题妙解下面以近年高考题为例说明上述结论在解题中的妙用.例1（06湖南文第21题）已知椭圆，抛物线（＞0），且、的公共弦AB过椭圆的右焦点.（Ⅰ）当轴时，求p，m的值，并判断抛物线的焦点是否在直线AB上；（Ⅱ）若且抛物线的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程.解：（Ⅰ）当轴时，点A、B关于x轴对称，，直线AB的方程为.从而点A的坐标为或.点A在抛物线上，即此时抛物线的焦点坐标为，该焦点不在直线AB上.（Ⅱ）设直线AB的倾斜角为，由（Ⅰ）知.则直线AB的方程为.抛物线的对称轴平行于轴，焦点在AB上，通径，离心率，于是有又AB过椭圆的

4、右焦点，通径，离心率.ssqqqqOABxy解之得：.抛物线的焦点在直线上，，从而.当时，直线AB的方程为；当时，直线AB的方程为.例2（07全国Ⅰ文第22题）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于B、D两点，过的直线交椭圆于A、C两点，且，垂足为P.（1）设P点的坐标为，证明：＜1.（2）求四边形ABCD的面积的最小值.（1）证明：在中，.O是的中点，得点P在圆上.显然，圆在椭圆的内部.故＜1.（2）解：如图，设直线BD的倾斜角为，由可知，直线AC的倾斜角.ssqqqq通径，离心率.又BD、AC分别过椭圆的左、右焦点、，于是ABCDOxyP四边形ABCD的面

5、积..故四边形ABCD面积的最小值为.例3（08全国Ⅰ理第21题文第22题）双曲线的中心为原点O，焦点在x上，两条渐近线分别为、，经过右焦点F垂直于的直线分别交、于A、B两点.已知、、成等差数列，且与同向.（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程.解：（Ⅰ）设双曲线的方程为（＞0，＞0）.、、成等差数列，设，公差为d，则，，.即..从而，.ssqqqq又设直线的倾斜角为，则.的方程为.而AByOFxNM.解之得：（Ⅱ）设过焦点F的直线AB的倾斜角为,则..而.通径.又设直线AB与双曲线的交点为M、N.于是有：.即.解得，从而.所

6、求的椭圆方程为.金指点睛1.已知斜率为1的直线过椭圆的上焦点F交椭圆于A、B两点，则=_________.2.过双曲线的左焦点F作倾斜角为的直线交双曲线于A、B两点，则=_________.ssqqqq3.已知椭圆，过左焦点F作直线交A、B两点，O为坐标原点，求△AOB的最大面积.BOxyAFyOFxAB4.已知抛物线（＞0），弦AB过焦点F，设，△AOB的面积为S，求证：为定值.5.（05全国Ⅱ文第22题）P、Q、M、N四点都在椭圆上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点.已知与共线，与共线，且.求四边形PQMN的面积的最大值和最小值.OxNPyMQF6.(07重庆文第22

7、题)如图，倾斜角为的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点.ssqqqq（Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线的方程；（Ⅱ）若为锐角，作线段AB的垂直平分线m交轴于点P，证明为定值，并求此定值.yOFxABDECmP7.点M与点的距离比它到直线的距离小1.（1）求点M的轨迹方程；（2）经过点F且互相垂直的两条直线与轨迹相交于A、B；C、D.求四边形ACBD的最小面积.8.已知双曲线的左右焦点、与椭圆的焦点相同，且以抛物线的准线为其中一条准线.（1）求双曲线的方程；（2）若经过焦点且互相垂直的两条直线与双曲线相交于A、B；C、D.求四边形ACBD