中国石油大学高数(2-2)历年期末试题参考 答案

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1、2007—2008学年第二学期高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分.请将答案写在指定位置上.1.平面与平面的夹角为.2.函数在点处沿从点到点的方向的方向导数为.3.设是有界闭区域上的连续函数，则当时，.4.区域由圆锥面及平面围成，则将三重积分在柱面坐标系下化为三次积分为.5.设为由曲线上相应于从到的有向曲线弧，是定义在上的连续三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：.6.将函数展开成余弦级数为.二、单项选择题：7~12小题，每小题3分，共18分。下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字

2、母填在题后的括号内.7.若有连续的二阶偏导数，且(常数)，则（）(A)；(B)；(C)；(D).8.设是连续的奇函数，是连续的偶函数，区域，则下列结论正确的是（）.(A)；(B)；(C)；(D).139.已知空间三角形三顶点，则的面积为（）(A)；(B)；(C)；(D).10.曲面积分在数值上等于().(A)流速场穿过曲面Σ指定侧的流量；(B)密度为的曲面片Σ的质量；(C)向量场穿过曲面Σ指定侧的通量；(D)向量场沿Σ边界所做的功.11．若级数在处是收敛的，则此级数在处()(A)发散；(B)条件收敛；(C)绝对收敛；(D)收敛性不能确定.12.级数的敛散性为()(A)

3、当时，绝对收敛；（B）当时，条件收敛；(C)当时，绝对收敛；（D）当时，发散.三、解答题：13~20小题，共58分.请将解答过程写在题目下方空白处.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.13.（本题满分6分）设确定，求全微分.解：两边同取微分，整理得.14.（本题满分8分）求曲线在点（1,1,1）处的切线与法平面方程.解：两边同时关于求导，解得，所以切向量为：，切线方程为：；法平面方程为：，即.15.（本题满分8分）求幂级数的和函数.解：求得此幂级数的收敛域为，，，设，则13即，.16.（本题满分6分）计算，其中为曲面被柱面所截下的有限部分.解：（关于平面对称，被积

4、函数是的奇函数）.17.（本题满分8分）计算积分，其中为曲线上从点到沿逆时针方向的一段有向弧.解：，积分与路径无关，选折线+为积分路径，其中，18.（本题满分8分）计算，是由曲面与平面围成的有界闭区域的表面外侧.解：由高斯公式，（利用柱面坐标变换则）19.（本题满分8分）在第Ⅰ卦限内作椭球面的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标.解：设切点坐标为，则切平面的法向量为，13切平面方程为，即，则切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为，令解方程组，得，，，故切点坐标为.20.(本题满分6分)设均在上连续，试证明柯西不等式：证：设则（关于对称）.20

5、08—2009学年第二学期高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一．选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.1.设三向量满足关系式，则（）.（A）必有;（B）必有;（C）当时，必有;（D）必有（为常数）.2.直线与平面的关系是（）.（A）平行，但直线不在平面上;（B）直线在平面上；（C）垂直相交;（D）相交但不垂直.133.二元函数在点（0，0）处（）(A)不连续，偏导数存在(B)连续，偏导数不存在(C)连续，偏导数存在(D)不连续，偏导数不存在4.已知为某二元函数的全微分，则（

6、）.（A）;（B）;（C）;（D）.5.设是连续函数，平面区域，则（）.（A）;（B）;（C）;（D）.6.设为常数，则级数（）.（A）发散;（B）绝对收敛;（C）条件收敛;（D）收敛性与的值有关.二．填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）.1.设函数，向量，点，则2.若函数在点处取得极值，则常数3.为圆的一周，则4.设，级数的收敛半径为5.设，则6.设是以为周期的周期函数，它在区间上的定义为，则的以为周期的傅里叶级数在处收敛于三．解答下列各题（本题共7小题，满分44分）.1.（本小题6分）设是可微函数，，求.解题过程是：令，则，，2.（本小题6分）计算二重积

7、分，其中.13解题过程是：关于轴对称，被积函数关于是奇函数，，故3.（本小题6分）设曲面是由方程所确定，求该曲面在点处的切平面方程及全微分.解题过程是：令，，，，则所求切平面的法向量为：，切平面方程为：，，4.（本小题6分）计算三重积分，其中是由柱面及，所围成的空间区域.解题过程是：利用柱面坐标变换，5.（本小题6分）求，其中为曲面，方向取下侧.解题过程是：补与所围立体为由高斯公式，得，6.（本小题7分）求幂级数的收敛域及和函数.解题过程是：因为，故收敛区间为；时，极限，级数均是发散的；于是收敛域为，7.（本小题7分）例1计算，为立体的边界.解题过程