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1、....2018年初中数学联赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试(A)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．设二次函数y=x2+2ax+a2的图象的顶点为A，与x轴的交点为B,C.当△ABC为等边三角2形时，其边长为（）A.6．B.22．C.23．D.32．【答】C.由题设知A(-a,-a2).设B(x,0)，C(
2、x,0)，二次函数的图象的对称轴与x轴的交点为D，则212=4a2-4´a2BC=
3、x-x2
4、=(x+x)2-4xx2=2a2.11212a233又AD=BC，则
5、-
6、=×2a2，解得a2=6或a2=0（舍去）.222所以，△ABC的边长BC=2a2=2.32．如图，在矩形ABCDÐBAD的平分线交BD于点EAB=1ÐCAE=15°，则BE=）中，，，（32-1．D.-1．A.．B.．C.23AD23【答】D.E延长AE交BC于点F，过点E作BC的垂线，垂足为H.由已知得ÐBAF=ÐFAD=ÐAFB=ÐHEF=45°，BF=AB=1，BCHFÐE
7、BH=ÐACB=30°.设BE=x，则HF=HE=x，BH=3x.22因为BF=BH+HF，所以1=3x+x，解得x=-1.所以BE=-1.33223．设p,q均为大于3的素数，则使p2+5pq+4q2为完全平方数的素数对(p,q)的个数为（）A.1．B.2．C.3．D.4．【答】B.2018年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第1页（共10页）可编辑....设p2+5pq+4q2=m2（m为自然数），则(p+2q)2+pq=m2，即(m-p-2q)(m+p+2q)=pq.由于p,q为素数，且m+p+2q>p,m+p+2q>q，所以m-p-2q=
8、1，m+p+2q=pq，从而pq-2p-4q-1=0，即(p-4)(q-2)=9，所以(p,q)=(5,11)或(7,5).所以，满足条件的素数对(p,q)的个数为2.4．若实数a,b满足a-b=2，(1-a)2(1+b)255-=4，则a-b=（）abA.46．B.64．C.82．D.128．【答】C.(1-a)2(1+b)2由条件-=4得a-b-2a2-2b2-4ab+a3-b3=0，ba即(a-b)-2[(a-b)2+4ab]+(a-b)[(a-b)2+3ab]=0，又a-b=2，所以2-2[4+4ab]+2[4+3ab]=0，解得ab=1
9、.所以a2+b2=(a-b)2+2ab=6，a3-b3=(a-b)[(a-b)2+3ab]=14，a5-b5=(a2+b2)(a3-b3)-a2b2(a-b)=82.5．对任意的整数x,y，定义x@y=x+y-xy，则使得(x@y)@z+(y@z)@x+(z@x)@y=0的整数组(x,y,z)的个数为（）A.1．B.2．C.3．D.4．【答】D.(x@y)@z=(x+y-xy)@z=(x+y-xy)+z-(x+y-xy)z=x+y+z-xy-yz-zx+xyz，由对称性，同样可得(y@z)@x=x+y+z-xy-yz-zx+xyz，(z@x)@y
10、=x+y+z-xy-yz-zx+xyz.所以，由已知可得x+y+z-xy-yz-zx+xyz=0，即(x-1)(y-1)(z-1)=-1.所以，x,y,z为整数时，只能有以下几种情况：ìx-1=1,ìx-1=1,ìx-1=-1,ìx-1=-1,ïïï=1,ï=-1,íy-1=1,或íy-1=-1,或íy-1或íy-1ïïï=1,ï-1=-1,îz-1=-1,îz-1=1,îz-1îz所以，(x,y,z)=(2,2,0)或(2,0,2)或(0,2,2)或(0,0,0)，故共有4个符合要求的整数组.可编辑....2018年初中数学联赛试题参考答案及评
11、分标准第2页（共10页）可编辑....6．设M=1+1+1++1，则1的整数部分是（）2018201920202050MA.60．B.61．C.62．D.63．【答】B.因为M<20181´33，所以M1>201833=61335.又M=(20181+20191++20301)+(20311+20321++20501)>20301´13+20501´20=832301345，所以M1<832301345=6111851345，故M1的整数部分为61.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，CE^A
12、B于E，F为AD的中点，若ÐAEF=48°，则ÐB=_______．【答】84°.AF设BC的中点为G，连结FG交CE于H，由题设条件知
