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《运筹学课件 第四节 最大流问题.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第四节最大流问题理解最大流问题的概念、最大流-最小割定理。掌握求最大流问题的标号算法。引言在许多实际的网络系统中都存在着流量和最大流问题。例如铁路运输系统中的车辆流，城市给排水系统的水流问题等等。而网络系统流最大流问题是图与网络流理论中十分重要的最优化问题，它对于解决生产实际问题起着十分重要的作用。图是联结某个起始地vs和目的地vt的交通运输网，每一条弧vi旁边的权cij表示这段运输线的最大通过能力，货物从vs运送到vt.要求指定一个运输方案，使得从vs到vt的货运量最大，这个问题就是寻求网络系统的
2、最大流问题。一、最大流有关概念连通网络G(V,E)有m个节点,n条弧,弧eij上的流量上界为cij,求从起始节点vs到终点vt的最大流量。vtv3v2v1v4vs1735108611453Cij定义20设一个赋权有向图G=（V,E）,对于G中的每一个边（弧）（vi,vj）∈E,都有一个非负数cij叫做边的容量。在V中一个入次为零的点称为发点vs，一个出次为零的点称为收点vt,其它的点叫做中间点。我们把这样的图G叫做一个容量网络，记做G=（V，E，C）。网络G上的流，是指定义在边(vi,vj)上有流量
3、fij，称集合f={fij}为网络G上的一个流，f为可行流。网络上的一个流f叫做可行流，如果f满足以下条件：（1）容量条件：对于每一个弧（vi,vj）∈E,有0fijcij.（2）平衡条件：对于发点vs,收点vt有对于中间点，有任意一个网络上的可行流总是存在的。例如零流w(f)=0,就是满足以上条件的可行流。网络系统中最大流问题就是在给定的网络上寻求一个可行流f,其流量w(f)达到最大值。设流f={fij}是网络G上的一个可行流。我们把G中fij=cij的弧叫做饱和弧，fij4、和弧，fij>0的弧为非零流弧，fij=0的弧叫做零流弧.最大流问题实际是个线性规划问题。其中发点的总流量（或收点的总流量）w叫做这个可行流的总流量。v3v2v1v4vs（2）（3）（2）（5）（3）（3）（6）（1）（1）（2）fijvt网络上的一个流（运输方案），每一个弧上的流量fij就是运输量。例如fs1=5,fs2=3,f13=2等等。定义21设一个网络G=（V，E，C），vs、vt为发和收点，边集为E的子集，将G分成2个子图G1,G2;其顶点集合分别为:,发点vs∈S,收点vt∈/S,满足
5、1.G=（V，E-）不连通；2.为的真子集，而G=（V，E-）连通；那么为G的割集，记为=(S,)。割集(S,)所有始点在S，终点在的容量之和，称为(S,)的割集容量，记为C(S,)。vtvsv1v2v3v442443322231边集{(vs,v1),(vs,v3),(vs,v4)}边集{(vs,v1),(v1,v3),(v2,v3),(v3,vt)}为图的割集，割集容量分别为11，9二、最大流-最小割定理定理10：设f为网络G=（V，E，C）的任一个可行流，流量为W,(S,)是分离vsvt的任一个
6、割集，则有WC(S,).定理11：最大流-最小割定理:任一个网络G=（V，E，C）,从vs到vt的最大流的流量等于分离vsvt的最小割的容量。定义22：设μ是网络G中连接发点νs和收点vt的一条链。定义链的方向是从νs到vt，于是链μ上的边被分为两类：一类是边的方向与链的方向相同，叫做前向边，前向边的集合记做μ+。二类是边的方向与链的方向相反，叫做后向边，后向边的集合记做μ–。如果链μ满足以下条件：1．在边（vi,vj）∈μ+上，有0fij7、cij,。则称μ为从νs到vt可增广链。在链（vs,v1,v2,v3,v4,vt)中，μ+={(vs,v1),(v1,v2),(v2,v3),(v4,vt)},μ–={(v4,v3)}.vtvsv1v2v3v442443322231定理11提供了一个寻求网络系统最大流的方法。如果网络G中有一个可行流f，只要判断网络是否存在关于可行流f的增广链。如果没有增广链，那么f一定是最大流。如有增广链，那么可以按照定理中必要性，不断改进和增大可行流f的流量，最终可以得到网络G中的一个最大流。推论：网络中的一个可
8、行流f*是最大流的充分必要条件是，不存在关于f*的增广链。在一个网络G中，最大流的流量等于分离vs和vt的最小割集的割量。三、标号法从网络中的一个可行流f出发（如果G中没有f，可以令f是零流），运用标号法，经过标号过程和调整过程，可以得到网络中的一个最大流。如果vt有了标号，表示存在一条关于f的增广链。如果标号过程无法进行下去，并且vt未被标号，则表示不存在关于f的增广链。这样，就得到了网络中的一个最大流和最小割集。1． 标号过程在标号过程中，网络中的每个标号点的标号
