2020版新课标高考数学二轮复习专题六函数与导数第4讲导数与不等式学案理.doc

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1、2020新课标版高考数学二轮复习专题第4讲　导数与不等式证明不等式构造函数证明不等式：构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有：(1)直接构造法：证明不等式f(x)>g(x)(f(x)0(f(x)－g(x)<0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)；(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如lnx≤x－1，ex≥x＋1，lnx<

2、x0)，≤ln(x＋1)≤x(x>－1)；(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数；(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数f(x)和g(x)，利用其最值求解．高考真题思维方法【直接构造法】(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝－x＋alnx.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)存在两个极值点

3、x1，x2，证明：＜a－2.(1)略(2)证明：由(1)知，f(x)存在两个极值点时，当且仅当a>2.由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2－ax＋1＝0，所以x1x2＝1，不妨设x11.由于＝－－1＋a＝－2＋a＝－2＋a，所以

4、＋2lnx2<0，即1时，g′(x)>0.所以x＝1是g(x)的最小值点．[关键3：利用导数研究函数

5、的单调性、最值]故当x>0时，g(x)≥g(1)＝0.[关键4：利用函数最值使放缩后的不等式得到证明]因此，当a≥时，f(x)≥0.【构造双函数法】(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝aexlnx＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2.(1)求a，b；(2)证明：f(x)>1.(1)略(2)证明：由(1)知，f(x)＝exlnx＋ex－1，从而f(x)>1等价于xlnx>xe－x－.[关键1：将所证不等式等价转化，为构造双函数创造条件]设函数g(x)＝xlnx，则g

6、′(x)＝1＋lnx，所以当x∈时，g′(x)<0；当x∈时，g′(x)>0.故g(x)在上单调递减，在-12-上单调递增，从而g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g＝－.[关键2：构造函数，利用导数研究函数的单调性，求最小值]设函数h(x)＝xe－x－，则h′(x)＝e－x(1－x).所以当x∈(0，1)时，h′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0.故h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－.[关键3：构造函数，利用导数研究函数的单

7、调性，求最大值]综上，当x>0时，g(x)>h(x)，即f(x)>1.[典型例题](2019·四省八校双教研联考)已知函数f(x)＝ax－axlnx－1(a∈R，a≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当x>1时，求证：>－1.【解】　(1)f′(x)＝a－a(lnx＋1)＝－alnx，若a>0，则当x∈(0，1)时，f′(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，所以f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；若a<0，则当x∈(0，1)时，f′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，f

8、′(x)>0，所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(2)证明：要证>－1，即证>e－x，即证1时，x－xlnx－1<0，即1时，lnx1，则F′(x)＝ex－单调递增，所以F′(x)>F′