线性代数基础知识.ppt

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1、线性代数知识回顾矩阵的概念矩阵的定义矩阵是数(或是函数)的矩形阵表,是数学上常用的概念.定义:由m×n个数排成的m行n列的表称为m行n列矩阵（matrix）,简称矩阵.这m×n个数叫做矩阵的元素.当元素都是实数时称为实矩阵（realmatrix）,当元素为复数时称为复矩阵（complexmatrix）.3.向量n维行向量:1n矩阵[a1,a2,…,an]n维列向量:n1矩阵a1a2…an第i分量:ai(i=1,…,n)n阶方阵:nn矩阵2.方阵几种常用的特殊矩阵1.对角矩阵（diagonalmatrix）记作2.标量矩阵（

2、scalarmatrix）3.n阶单位矩阵（unitmatrix）矩阵的乘法定义设两个矩阵,,则矩阵A与矩阵B的乘积记为规定其中应注意:只有当矩阵A的列数与B的行数相同时，A与B才能作乘积，并且乘积矩阵的行数与A的行数相等，乘积矩阵的列数与B的列数相等.矩阵的乘法满足下列运算律（假设运算都是成立的）：(1)结合律:(2)分配律：(3)设k是数:例设求乘积矩阵.解：矩阵的转置定义设则矩阵称为A的转置矩阵(transposedmatrix),记作转置矩阵就是把A的行换成同序号的列得到的一个新矩阵。例如，矩阵的转置矩阵为性质：1。A2=

3、A’A2。(AB)’=B’A’3。(kA)’=kA’4。(A+B)’=A’+B’逆矩阵逆矩阵的概念定义：设A为阶n方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=I则称A是可逆矩阵（invertiblematrix）。并称B为A的逆矩阵(inversematrix)，记为,即如果矩阵A是可逆的,则A的逆矩阵是唯一的.事实上，设A，B都是可逆矩阵，则有于是定义设A为n阶方阵，若则称A是非奇异矩阵(nonsingularmatrix)或非退化矩阵,否则称A是奇异矩阵(singularmatrix)或退化矩阵。定义设令为

4、A

5、中元素的代数余子式，

6、则称方阵为A的伴随矩阵(adjointmatrix),或记为adjA。矩阵可逆的充要条件定理：方阵A可逆的充分必要条件是A为非奇异矩阵，即

7、A

8、≠0，并且矩阵的秩矩阵秩的概念定义：设A是一个m×n矩阵，在A中任取k行、k列，位于这些k行和k列交叉处的元素按原来的次序组成一个k阶行列式,称为矩阵A的一个k阶子式（minor）。例如：矩阵由1、2、3行与1、2、3列构成的三阶子式在矩阵A中有一个三阶子式不为零，而所有的四阶子式全为零,这时我们可以称A的秩是3。定义：矩阵A中的非零子式的最高阶数称为矩阵的秩(rank-ofamatrix

9、），记作r(A)。零矩阵的所有子式全为零,所以规定零矩阵的秩为零.设A是n阶方阵,若A的秩等于n,则称A为满秩矩阵(nonsingularmatrix），否则称为降秩矩阵(singularmatrix)。矩阵秩的性质40829030120004700000例.的秩为.3注:从例可以看出行阶梯形矩阵的秩就等于它的阶梯数(即:非零行的数目).而任何一个矩阵都可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形.线性方程组一.线性方程组的概念含有n个未知量,m个方程的线性方程组的一般形式如下a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+

10、a22x2+…a2nxn=b2…………………am1x1+am2x2+…+amnxn=bm(3.1)(非)齐次线性方程组,解,相容设A=a11a12…a1na21a22…a2n…………am1am2…amn,b=b1b2…bm,a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…a2nxn=b2…………………am1x1+am2x2+…+amnxn=bm则线性方程组可以写成Ax=b.x=x1x2…xn,解向量,解集,通解,同解称A=a11a12…a1na21a22…a2n…………am1am2…amn为(3.1)的系

11、数矩阵,[A,b]=a11a12…a1nb1a21a22…a2nb2……………am1am2…amnbm为(3.1)的增广矩阵.