lecture07.ppt

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1、上节课内容回顾§7-3位置表象的函数形式§7-4xyz表象和r表象§8角动量表象§8-1几种角动量算符§8-2轨道角动量和方向算符§8-3量子数l的升降算符§8-4球谐函数§8-5lm表象和表象§8-6自旋和自旋表象§9定态薛定谔方程§9-1概述§9-2一维谐振子§9-3氢原子§9-4氢分子离子的基态§9-1概述定态薛定谔方程定态考虑自旋时泡利方程无自旋时基态(1)微扰法能级和定态解已精确求解引入微扰修正(2)变分法解定态薛定谔方程需用近似方法中心库仑场谐振子场Morse势一维势哈密顿算符一般很复杂，能精确求解的薛定谔方程很少(3)半经典近似（WKB近似）用普朗克常数作参数

2、展开的近似在QM中，如不起显著作用，即，就过渡经典极限。如处理的问题和经典结果相差不太大，将波函数按展开为的幂级数，然后逐级近似求解，可得到较好的结果。这种方法是温采(Wentzel)，克拉玛斯(Kramers)和布里渊(Brillouin)提出的，故称为WKB近似。这是一种半经典近似。(4)自恰场方法(哈特利(Hartree)—福克(Fock)平均场近似)多体问题最常用近似的关键在于将粒子之间的两体系作用，近似用一个单粒子在一个平均场中运动代替。1、变分法定理若系统的哈密顿为H，则对于描写束缚态的任意归一化的态矢量，下列关系证明：成立，式中为基态能量。使等号成立的就是基态上式右端取

3、极小值是，其变分为零满足上式的必定满足证毕变分法基态能量和态矢量选取包含变分参数的是试探函数计算能量再利用变分发计算能量极小值，就是求变分求出使E成为极小的值，在此值下的E就是基态能量的上限，相应的态矢量就是基态。对大数目质点组，定义牛顿第二定律其对时间的微商为而因此经典力学中足够大，即稳定平衡时：（或为一周期（涨落周期））时间平均维里定理，VirialTheorem力位置讨论：1.系统中的耗散力对无贡献.（反证法）2.对有心力系统（属保守力系），质点势能：证明：在位置表象中证明2、位力定理处于任意束缚态的单粒子，其动能的期望值满足两端取平均因此(a)式左端的平均值为0所

4、以(a)式右端的平均值也为0证明：满足定态薛定谔方程证毕3、Hellmann-Feynman定理设系统的哈密顿H()含有一个参数，与为其束缚态的归一化本征矢量与相应的本征值，则必有§9-2一维谐振子一维谐振子的哈密顿是1、直接矢量计算用X和P构造辅助算符则求H的本征值和本征矢量的本征值和本征矢量是的本征矢量本征值为是谐振子本征矢量的下降算符为正整数n同时于是可得谐振子的本征值谱用类似的方法，可得到对的作用哈密顿H的本征矢量就是的本征矢量，它们可以有一个基态用上升算符算出：问题已全部解决能量表象：位置表象中首先来求为厄米多项式2、能量表象中的计算矩阵方法的例子采用H表象算符矩阵代数

5、方法求解矩阵元时，矩阵元均为零3、位置表象中的计算在位置表象中，定态薛定谔方程为二阶微分方程可利用级数法进行求解。束缚态导致能量只能取离散值：相应的本征函数也可求出，同前。初等量子力学中常用此方法求解。4、动量表象中的计算哈密顿薛定谔方程做变量代换与位置表象中的薛定谔方程的形式完全一样求解过程类似，令可见，一维谐振子在每一个定态中，粒子的动量概率分布情况与位置概率分布情况具有相同的性质§9-3氢原子1、径向方程考虑类氢离子，其薛定谔方程在位置表象中的形式为在球坐标系下，方程形式为令代入上式做变量代换玻尔半径采用升降算符方法讨论径向方程径向方程改写成下列两种形式：进一步改写：2、量子数

6、n的升降算符则有量子数n的升降算符由于径向函数的内积为无厄米共轭关系设f，g二函数满足束缚态条件可见同样因此3、确定能级n是相差1的一些数n有下限由可知所以氢原子能级公式4、归一化系数于是可得5、平均值的计算径向方程令对积分对积分其中的四个积分再利用分部积分若以上四式右边的第一项均为零，则有比较上面二式，可得Kramers公式6、Kramers公式的成立条件我们刚才得到六个分部积分要使上述六项在时都成为零，则必须满足7、量子数l的升降算符将径向方程改写成如下形式其中l的上升算符l的下降算符8、径向态函数当时给出全部径向态函数§9-4氢分子离子的基态1、问题的提出氢分子离子两个质子

7、与一个电子组成的束缚态Born-Oppenheimer近似—绝热近似电子与核的运动可以分离两核之间距作为参量，体系哈密顿为定态薛定谔方程为氢分子离子体系的总能量为两核的排斥势能2、初步近似利用变分法求解体系的基态能量和基态波函数取氢原子基态波函数的线性叠加作为试探波函数取根据变分法定理，电子能量E为根据变分法定理，电子能量E为其中取极小值的条件有有两组解讨论：波函数电子概率密度能量库仑积分交换积分重叠积分体系总能量为2、进一步近似上述简单的变分法可以给出束