3-4班第4讲.ppt

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1、有了定义在集代数A上的测度，我们考虑如何产生测度在-代数(A)上的扩张？首先必须明白什么叫“扩张”？定理1.2.3A1，A2是上的两个非空集合类，且A1A2，i是Ai的测度，i=1,2，若对AA1,有1(A)=2(A)，则称2是1在A2上的扩张（1是2在A1上的限制）。二、测度的扩张定理7/16/20211北京邮电大学电子工程学院以下讨论的前提是A是的集代数，是A上的测度其中AFΩ，称FΩ上的v*是由A上的v所引出的外测度。(可列多个集合的并集合覆盖A，该可列多个集合的测度和的下确界，即为集合A的外测度。）还需回顾下确界的性质1、FΩ上的外

2、测度*(A)（1.2.1）7/16/20212北京邮电大学电子工程学院引理1.2.1由集代数A上的测度引出的FΩ上的外测度*，满足：下面讨论外测度的性质：证明：（1）因AA，由外测度定义，有：*(A)(A)因此，只需证明*(A)(A)7/16/20213北京邮电大学电子工程学院综上所述(A)=*(A)因此，只需证明*(A)(A)7/16/20214北京邮电大学电子工程学院即：外测度是单调上升的函数。即覆盖B的集合序列一定覆盖A7/16/20215北京邮电大学电子工程学院7/16/20216北京邮电大学电子工程学院7/16/20217北京邮电大学电

3、子工程学院为了把那些满足可加性的集合挑选出来，我们引入*可测集的概念，并构成一个新的集合类，该集合类A*不仅为-代数，而且*是A*上的测度。问题：外测度*在FΩ上未必满足-可加性？7/16/20218北京邮电大学电子工程学院2、*可测集（1.2.3）（1.2.4）证明：必要性显然成立下面简单说明充分性：7/16/20219北京邮电大学电子工程学院由引理1.2.1，有*()=0由引理1.2.1(3)知外测度函数*具有次可加性，则在引理1.2.1(3)中取我们记A*为所有*可测集组成的集合类。7/16/202110北京邮电大学电子工程学院引理1.2.3A*满足

4、：（1）A*是-代数；证明：（1）首先证明A*是集代数a、∵*(Ø)=0，D，有：（1.2.4）式的定义具有对称性A*7/16/202111北京邮电大学电子工程学院则有：A∪BA*综上所述知A*是集代数。（1.2.5）c、A，BA*，有：A∪BA*若A，BA*，则对D，有：7/16/202112北京邮电大学电子工程学院下面说明A*是-代数，只需证A*对可列不交并运算封闭。（解释原因？集代数+单调类-代数）设AnA*，n=1,2,…，AiAj=，ij，则：对D，有：7/16/202113北京邮电大学电子工程学院令n，有：A*

5、，则A*是-代数。（1.2.6）由前面结论，有：7/16/202114北京邮电大学电子工程学院引理1.2.3A*满足：7/16/202115北京邮电大学电子工程学院由前面的结论，有:由（1.2.6）式：结论得证。7/16/202116北京邮电大学电子工程学院（3）欲证*是A*上的测度，只须说明*在A*上满足-可加性。考虑到v*()=0，所以AA*上，有：v*(A)0则v*是A*上的测度。整个引理的证明完毕。7/16/202117北京邮电大学电子工程学院3、测度扩张定理问题：A*是否是包含A的-代数？若是，则*便是定义在A上的测度在A*的一个扩张；进一步地

6、，这样的扩张唯一吗？为了保证唯一性，不必将扩张到A*上，而只需扩张到(A)即可。定理1.2.4设是Ω的集代数A上的测度，则在(A)上存在一个扩张；如果在A上是-有限的，则在(A)上的扩张是唯一的。证明：由前面的一系列引理，只须说明AA*即可7/16/202118北京邮电大学电子工程学院证明：显然第一部分只需证：AA*AA，D，>0，存在A中集序列An，n=1,2,使得由是A上的测度，且7/16/202119北京邮电大学电子工程学院第二部分：唯一性A是集代数，是A上的-有限测度，则存在：由的任意性，则有：即：AA*，则AA*7/

7、16/202120北京邮电大学电子工程学院首先证明：若1，2是在(A)上的任意两个扩张，证明对A(A)及任意的正整数n，有：1(ADn)=2(ADn)（1.2.8）第二部分：唯一性A是集代数，是A上的-有限测度，则存在：7/16/202121北京邮电大学电子工程学院对给定的n，令：={A：A(A)，1(ADn)=2(ADn)}显然A，且(A)。（∵AA(A)，因A为集代数，则：ADnA，必有：1(ADn)=2(ADn)，则A）若能证明为单调类