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1、2019-2020年高中数学1．4三角函数的图象与性质教案6新人教版必修4课型：新授课课时计划：本课题共安排二课时教学目标：1、理解并会判断正、余弦函数的奇偶性；2、培养学生直观猜想,归纳抽象,演绎证明的能力；3、培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神.教学重点：求正、余弦函数的奇偶性.教学难点：正、余弦函数奇偶性的证明.教学过程：一、创设情境，引入新课我们已经知道正、余弦函数的定义域，值域那它们除此之外还有哪些性质呢？本节我们研究正余弦函数的奇偶性,引导学生观察正余弦函数图象的对称性.正弦函数的图象关于原点对称;余弦函数的图象关于y轴对称.怎样证明这两个结论呢?设
2、(x,y)是正弦曲线y=sinx上的任意一点,即P(x,sinx)是正弦曲线上的一点,它关于原点的对称点是(-x,-y)即Q(-x,-sinx)现在只要证明(-x,-sinx)也是正弦曲线上的点.由诱导公式sin(-x)=-sinx可知,这个对称点就是(-x,sin(-x)).它显然也在正弦曲线上.所以正弦曲线关于原点对称.这说明：将正弦函数曲线绕原点旋转180度后得的曲线能够和原来的曲线重合.即正弦函数关于原点对称.同学们仿照证明y=cosx关于y轴对称分析:设从余弦函数的图象上任取一点P(x,y),即P(x,cosx),其关于y轴对称点P′(-x,y)即P′(-x,cosx
3、)由诱导公式cos(-x)=cosx知这个点也在余弦函数的图像上。这说明什么？这说明若将余弦曲线延着y轴折叠,y轴两旁的部分能够互相重合,即余弦曲线关于y轴对称.二、新课讲解㈠知识要点：1、奇函数的定义：一般的,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)＝-f(x)，则称f(x)为这一定义域内的奇函数.定义知正弦函数是奇函数.关于原点对称的函数一定是奇函数，且奇函数的图像一定关于原点对称.正弦函数是这样的.注意:(1)对于定义域内任任意一个x,都有f(-x)=-f(x),所以-x也在定义域内故判断一个函数是否为奇函数,一定要判断定义域是否关于原点对称;(2)若f(x
4、)是奇函数，且x＝0在定义域内，则f(0)＝0函数y=sinx,x∈[0,2π]是奇函数吗？函数y=sinx,x∈[-π/2,π/2]是奇函数吗？2、偶函数的定义:一般的,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)＝f(x)，则称f(x)为这一定义域内的偶函数.(关于y轴对称)定义知余弦函数是偶函数.函数y=cosx,x∈[0,π]是否为偶函数?关于y轴对称的函数一定是偶函数，且偶函数的图像一定关于y轴对称.余弦函数是这样的.从上面的分析知道，正余弦函数的奇偶性反映了正余弦函数的图像具有的对称性.正弦函数，是奇函数，余弦函数，是偶函数。理解：（1）由诱导公式，可知以
5、上结论成立；（2）反映在图象上，正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于轴对称.三.典例精讲例1：判定下列函数的奇偶性(1)y=-sinxx∈R(2)y=
6、sinx
7、+
8、cosx
9、x∈R(3)y=1+sinxx∈R解:(1)f(-x)=-sin[3(-x)]=-(-sin3x)=-f(x)且f(x)的定义域关于原点对称,可知y=f(x)=-sin3x,x∈R是奇函数.(2)f(-x)=
10、sin(-x)
11、+
12、cos(-x)
13、=
14、sinx
15、+
16、cosx
17、=f(x)且f(x)的定义域关于原点对称,可知y=f(x)=
18、sinx
19、+
20、cosx
21、,x∈R是偶函数.(3)f(-x)=sin(-x
22、)+1=1-sinxf(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x)可知y=f(x)=1+sinxx∈R即不是奇函数也不是偶函数.四.巩固训练1.下列命题正确的是()A.y=-sinx为偶函数B.y=
23、sinx
24、是非奇非偶函数C.y=3cosx+1为偶函数D.y=sinx-1为奇函数2.函数y=cos(x+π/2),xÎR()A.是奇函数B.是偶函数C.即不是奇函数也不是偶函数D.有无奇偶性不能确定3.判断下列函数的奇偶性,并说明理由.(1)y=
25、sinx
26、x∈(-2π,2π)(2)y=3cosx-1(-5,5)(3)y=3sinxx∈(-π,0)∪(π,2π)(4)sinx+co
27、sxx∈Ry这是奇函数吗?不是,因为这个函数o的图象不成中心对称图型x五.课堂小节1.奇函数的定义;2.偶函数的定义;3.如何判断函数的奇偶性.
