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1、一 圆周角定理1.圆周角定理(1)圆周角定义:顶点在圆上,并且两边和圆相交的角叫做圆周角.(2)圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.名师点拨圆周角定理揭示了圆周角与圆心角的关系,把角和弧两种不同类型的图形联系起来.在几何证明的过程中,圆周角定理为我们解决角和弧之间的转化问题提供了一种新方法.【做一做1】如图,点A,B,P在圆O上,若∠APB=65°,则∠AOB=.解析:由圆周角定理,得∠AOB=2∠APB=130°.答案:130°2.圆心角定理(1)圆心角定义:顶点在圆心的角叫做圆心角.(2)圆心角定理:圆心
2、角的度数等于它所对弧的度数.名师点拨1.在圆心角定理中,圆心角的度数和它所对的弧的度数相等,但不能说“圆心角等于它所对的弧”.2.圆心角的度数等于它所对的弧的度数,它与圆的半径无关.也就是说,在大小不等的两个圆中,相同度数的圆心角,它们所对的弧的度数相等;反过来,弧的度数相等,它们所对的圆心角的度数也相等.【做一做2】如图是两个同心圆,圆心为点O,点C,D在大圆上,A,B,M在小圆上.若∠AMB=40°,则劣弧的度数等于()A.20°B.40°C.80°D.70°解析:因为∠AMB=40°,所以∠AOB=80°,从而劣弧的度数为80
3、°.答案:C3.圆周角定理的推论(1)推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.(2)推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径.特别提醒1.“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”.2.在推论1中,若将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”,则结论不一定成立.因为一条弦所对的圆周角有两种可能,所以在一般情况下是不相等的.【做一做3】如图,若D是劣弧的中点,则与∠ABD相等的角的个数是()A.7B.3C.2D.1解析:由同弧或等弧所对的圆周角相等,知∠AB
4、D=∠CBD=∠ACD=∠DAC,故与∠ABD相等的角有3个.答案:B思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)在同圆或等圆中,圆周角等于圆心角的一半.()(2)在同圆或等圆中,圆心角等于它所对的弧.()(3)同弦或等弦所对的圆周角相等.()(4)在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弦也相等.()答案:(1)×(2)×(3)×(4)√探究一探究二探究三思维辨析当堂检测角、弦、弧等的计算问题探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解析:(1)∵∠D=60°,∴∠B=∠D
5、=60°,答案:(1)60°(2)2.5cm反思感悟和圆周角、圆心角有关的角、弦、弧的计算,一方面可以通过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线段,另一方面,还可以通过成比例线段以及相似比来计算.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练1如图,点A,B,C是圆O上的点,且AB=4,∠ACB=30°,则圆O的面积等于()A.4πB.8πC.12πD.16π解析:连接OA,OB,∵∠ACB=30°,∴∠AOB=60°.又OA=OB,∴△AOB为等边三角形.∵AB=4,∴OA=OB=4,∴S☉O=π·42=16π.答案:D探究一探
6、究二探究三思维辨析当堂检测角、弦、弧关系的证明问题【例2】如图,AB是☉O的一条弦,∠ACB的平分线交AB于点E,交☉O于点D.求证:AC·CB=DC·CE.分析:通过圆周角定理与圆心角定理证明△ACE与△DCB相似,得到比例式,再转化为等积式.证明:连接BD,在△ACE与△DCB中,∵∠EAC与∠BDC是同弧所对的圆周角,∴∠EAC=∠BDC.又CE为∠ACB的平分线,∴∠ACE=∠DCB,∴△ACE∽△DCB,∴,故AC·CB=DC·CE.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟利用圆中角的关系证明时应注意的问题1.分析已知和
7、所求,找好所在的三角形,并根据三角形所在圆上的特殊性,寻求相关的圆周角作为桥梁;2.当圆中出现直径时,要注意寻找直径所对的圆周角,在直角三角形中处理相关问题.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练2如图,在☉O中,已知AB=AC,D是BC延长线上的一点,AD交☉O于E.求证:AB2=AD·AE.证明:如图,连接BE,探究一探究二探究三思维辨析当堂检测圆周角定理、圆心角定理的综合应用【例3】如图,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,以BC为直径的☉O交AB于点E,D为AC的中点,连接BD交☉O于点F.求证:证明:∵BC为☉O的直径
8、,∴∠BFC=90°,∠BEC=90°.∵∠ACB=90°,∴∠BCE=∠A.又∠BFE=∠BCE,∴∠BFE=∠A.∵∠EBF=∠DBA,探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟应用圆周角定理和圆心角定理解题的基本步骤1.观察图形
